Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8530 / 9066
↖ ↑ ↗
← S 18.854310°
E  7.426758°		 ← 2 312.12 m → S 18.854310°
E  7.448730°		 →
↑
2 312.04 m
↓
↑
2 312.04 m
↓
S 18.875103°
E  7.426758°		 ← 2 311.83 m →
5 345 373 m²		 S 18.875103°
E  7.448730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520660400390625 y=0.553375244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520660400390625 × 214)
    floor (0.520660400390625 × 16384)
    floor (8530.5)     		tx = 8530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553375244140625 × 214)
    floor (0.553375244140625 × 16384)
    floor (9066.5)     		ty = 9066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8530 / 9066 ti = "14/8530/9066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8530/9066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8530 ÷ 214
    8530 ÷ 16384     		x = 0.5206298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9066 ÷ 214
    9066 ÷ 16384     		y = 0.5533447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5206298828125 × 2 - 1) × π
    0.041259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12962138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5533447265625 × 2 - 1) × π
    -0.106689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.335174802143433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12962138} λ = 0.12962138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.335174802143433))-π/2
    2×atan(0.71521305465001)-π/2
    2×0.620863266398051-π/2
    1.2417265327961-1.57079632675     		φ = -0.32906979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12962138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.426758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32906979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.854310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8530 KachelY 9066 0.12962138 -0.32906979 7.426758 -18.854310
    Oben rechts KachelX + 1 8531 KachelY 9066 0.13000487 -0.32906979 7.448730 -18.854310
    Unten links KachelX 8530 KachelY + 1 9067 0.12962138 -0.32943269 7.426758 -18.875103
    Unten rechts KachelX + 1 8531 KachelY + 1 9067 0.13000487 -0.32943269 7.448730 -18.875103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32906979--0.32943269) × R
    0.000362899999999999 × 6371000     		dl = 2312.0359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32906979--0.32943269) × R
    0.000362899999999999 × 6371000     		dr = 2312.0359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12962138-0.13000487) × cos(-0.32906979) × R
    0.000383489999999986 × 0.946343362249595 × 6371000     		do = 2312.12009906646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12962138-0.13000487) × cos(-0.32943269) × R
    0.000383489999999986 × 0.946226024131534 × 6371000     		du = 2311.83341684098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32906979)-sin(-0.32943269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946343362249595-0.946226024131534)×R²
    abs(0.13000487-0.12962138)×0.000117338118060695×R²
    0.000383489999999986×0.000117338118060695×6371000²
    0.000383489999999986×0.000117338118060695×40589641000000     		ar = 5345373.3230183m²