Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8530 / 7834
↖ ↑ ↗
← N 79.534636°
W133.143311°		 ← 110.96 m → N 79.534636°
W133.137817°		 →
↑
110.92 m
↓
↑
110.92 m
↓
N 79.533638°
W133.143311°		 ← 110.97 m →
12 308 m²		 N 79.533638°
W133.137817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130165100097656 y=0.119544982910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130165100097656 × 216)
    floor (0.130165100097656 × 65536)
    floor (8530.5)     		tx = 8530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119544982910156 × 216)
    floor (0.119544982910156 × 65536)
    floor (7834.5)     		ty = 7834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8530 / 7834 ti = "16/8530/7834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8530/7834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8530 ÷ 216
    8530 ÷ 65536     		x = 0.130157470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7834 ÷ 216
    7834 ÷ 65536     		y = 0.119537353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130157470703125 × 2 - 1) × π
    -0.73968505859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32378915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119537353515625 × 2 - 1) × π
    0.76092529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39051731025296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32378915} λ = -2.32378915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39051731025296))-π/2
    2×atan(10.9191410658857)-π/2
    2×1.47946879403438-π/2
    2.95893758806877-1.57079632675     		φ = 1.38814126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32378915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.143311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38814126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.534636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8530 KachelY 7834 -2.32378915 1.38814126 -133.143311 79.534636
    Oben rechts KachelX + 1 8531 KachelY 7834 -2.32369327 1.38814126 -133.137817 79.534636
    Unten links KachelX 8530 KachelY + 1 7835 -2.32378915 1.38812385 -133.143311 79.533638
    Unten rechts KachelX + 1 8531 KachelY + 1 7835 -2.32369327 1.38812385 -133.137817 79.533638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38814126-1.38812385) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dl = 110.919110000679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38814126-1.38812385) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dr = 110.919110000679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32378915--2.32369327) × cos(1.38814126) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.181641110053537 × 6371000     		do = 110.955740904973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32378915--2.32369327) × cos(1.38812385) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.181658230408745 × 6371000     		du = 110.96619889929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38814126)-sin(1.38812385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181641110053537-0.181658230408745)×R²
    abs(-2.32369327--2.32378915)×1.71203552079557e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.71203552079557e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.71203552079557e-05×40589641000000     		ar = 12307.6920266773m²