Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 853 / 220
↖ ↑ ↗
← N 80.297927°
W 30.058594°		 ← 3 293.99 m → N 80.297927°
W 29.882813°		 →
↑
3 298.97 m
↓
↑
3 298.97 m
↓
N 80.268259°
W 30.058594°		 ← 3 303.96 m →
10 883 208 m²		 N 80.268259°
W 29.882813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416748046875 y=0.107666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416748046875 × 211)
    floor (0.416748046875 × 2048)
    floor (853.5)     		tx = 853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107666015625 × 211)
    floor (0.107666015625 × 2048)
    floor (220.5)     		ty = 220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 853 / 220 ti = "11/853/220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/853/220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 853 ÷ 211
    853 ÷ 2048     		x = 0.41650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 220 ÷ 211
    220 ÷ 2048     		y = 0.107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41650390625 × 2 - 1) × π
    -0.1669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52462143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107421875 × 2 - 1) × π
    0.78515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46664110684961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52462143} λ = -0.52462143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46664110684961))-π/2
    2×atan(11.7828031326758)-π/2
    2×1.4861297690383-π/2
    2.97225953807661-1.57079632675     		φ = 1.40146321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52462143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.058594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40146321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.297927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 853 KachelY 220 -0.52462143 1.40146321 -30.058594 80.297927
    Oben rechts KachelX + 1 854 KachelY 220 -0.52155347 1.40146321 -29.882813 80.297927
    Unten links KachelX 853 KachelY + 1 221 -0.52462143 1.40094540 -30.058594 80.268259
    Unten rechts KachelX + 1 854 KachelY + 1 221 -0.52155347 1.40094540 -29.882813 80.268259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40146321-1.40094540) × R
    0.000517810000000063 × 6371000     		dl = 3298.9675100004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40146321-1.40094540) × R
    0.000517810000000063 × 6371000     		dr = 3298.9675100004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52462143--0.52155347) × cos(1.40146321) × R
    0.00306796000000009 × 0.168525041566953 × 6371000     		do = 3293.98593925566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52462143--0.52155347) × cos(1.40094540) × R
    0.00306796000000009 × 0.169035422907582 × 6371000     		du = 3303.96183924094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40146321)-sin(1.40094540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168525041566953-0.169035422907582)×R²
    abs(-0.52155347--0.52462143)×0.00051038134062803×R²
    0.00306796000000009×0.00051038134062803×6371000²
    0.00306796000000009×0.00051038134062803×40589641000000     		ar = 10883207.9201408m²