Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 853 / 214
↖ ↑ ↗
← N 80.474065°
W 30.058594°		 ← 3 234.74 m → N 80.474065°
W 29.882813°		 →
↑
3 239.65 m
↓
↑
3 239.65 m
↓
N 80.444930°
W 30.058594°		 ← 3 244.54 m →
10 495 320 m²		 N 80.444930°
W 29.882813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416748046875 y=0.104736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416748046875 × 211)
    floor (0.416748046875 × 2048)
    floor (853.5)     		tx = 853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104736328125 × 211)
    floor (0.104736328125 × 2048)
    floor (214.5)     		ty = 214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 853 / 214 ti = "11/853/214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/853/214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 853 ÷ 211
    853 ÷ 2048     		x = 0.41650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 214 ÷ 211
    214 ÷ 2048     		y = 0.1044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41650390625 × 2 - 1) × π
    -0.1669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52462143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1044921875 × 2 - 1) × π
    0.791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.48504887630371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52462143} λ = -0.52462143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48504887630371))-π/2
    2×atan(12.0017068395646)-π/2
    2×1.48766686455127-π/2
    2.97533372910253-1.57079632675     		φ = 1.40453740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52462143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.058594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40453740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.474065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 853 KachelY 214 -0.52462143 1.40453740 -30.058594 80.474065
    Oben rechts KachelX + 1 854 KachelY 214 -0.52155347 1.40453740 -29.882813 80.474065
    Unten links KachelX 853 KachelY + 1 215 -0.52462143 1.40402890 -30.058594 80.444930
    Unten rechts KachelX + 1 854 KachelY + 1 215 -0.52155347 1.40402890 -29.882813 80.444930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40453740-1.40402890) × R
    0.000508500000000023 × 6371000     		dl = 3239.65350000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40453740-1.40402890) × R
    0.000508500000000023 × 6371000     		dr = 3239.65350000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52462143--0.52155347) × cos(1.40453740) × R
    0.00306796000000009 × 0.165494028999507 × 6371000     		do = 3234.74184896472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52462143--0.52155347) × cos(1.40402890) × R
    0.00306796000000009 × 0.165995495769574 × 6371000     		du = 3244.54350499307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40453740)-sin(1.40402890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165494028999507-0.165995495769574)×R²
    abs(-0.52155347--0.52462143)×0.00050146677006685×R²
    0.00306796000000009×0.00050146677006685×6371000²
    0.00306796000000009×0.00050146677006685×40589641000000     		ar = 10495319.9633709m²