Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85299 / 97093
↖ ↑ ↗
← S 65.151886°
E 54.280701°		 ← 128.32 m → S 65.151886°
E 54.283447°		 →
↑
128.31 m
↓
↑
128.31 m
↓
S 65.153040°
E 54.280701°		 ← 128.31 m →
16 464 m²		 S 65.153040°
E 54.283447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.650783538818359 y=0.740764617919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.650783538818359 × 217)
    floor (0.650783538818359 × 131072)
    floor (85299.5)     		tx = 85299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740764617919922 × 217)
    floor (0.740764617919922 × 131072)
    floor (97093.5)     		ty = 97093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85299 / 97093 ti = "17/85299/97093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85299/97093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85299 ÷ 217
    85299 ÷ 131072     		x = 0.650779724121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97093 ÷ 217
    97093 ÷ 131072     		y = 0.740760803222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.650779724121094 × 2 - 1) × π
    0.301559448242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.94737695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740760803222656 × 2 - 1) × π
    -0.481521606445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.51274474131011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94737695} λ = 0.94737695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51274474131011))-π/2
    2×atan(0.220304468580499)-π/2
    2×0.216840699024592-π/2
    0.433681398049185-1.57079632675     		φ = -1.13711493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94737695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.280701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13711493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.151886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85299 KachelY 97093 0.94737695 -1.13711493 54.280701 -65.151886
    Oben rechts KachelX + 1 85300 KachelY 97093 0.94742488 -1.13711493 54.283447 -65.151886
    Unten links KachelX 85299 KachelY + 1 97094 0.94737695 -1.13713507 54.280701 -65.153040
    Unten rechts KachelX + 1 85300 KachelY + 1 97094 0.94742488 -1.13713507 54.283447 -65.153040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13711493--1.13713507) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dl = 128.311939999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13711493--1.13713507) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dr = 128.311939999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94737695-0.94742488) × cos(-1.13711493) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.42021423361267 × 6371000     		do = 128.317471410938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94737695-0.94742488) × cos(-1.13713507) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.420195957989421 × 6371000     		du = 128.311890729523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13711493)-sin(-1.13713507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42021423361267-0.420195957989421)×R²
    abs(0.94742488-0.94737695)×1.82756232490755e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82756232490755e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82756232490755e-05×40589641000000     		ar = 16464.305659174m²