Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85298 / 96722
↖ ↑ ↗
← S 64.720226°
E 54.277954°		 ← 130.43 m → S 64.720226°
E 54.280701°		 →
↑
130.41 m
↓
↑
130.41 m
↓
S 64.721398°
E 54.277954°		 ← 130.42 m →
17 009 m²		 S 64.721398°
E 54.280701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.650775909423828 y=0.737934112548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.650775909423828 × 217)
    floor (0.650775909423828 × 131072)
    floor (85298.5)     		tx = 85298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737934112548828 × 217)
    floor (0.737934112548828 × 131072)
    floor (96722.5)     		ty = 96722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85298 / 96722 ti = "17/85298/96722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85298/96722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85298 ÷ 217
    85298 ÷ 131072     		x = 0.650772094726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96722 ÷ 217
    96722 ÷ 131072     		y = 0.737930297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.650772094726562 × 2 - 1) × π
    0.301544189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.94732901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737930297851562 × 2 - 1) × π
    -0.475860595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49496015155107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94732901} λ = 0.94732901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49496015155107))-π/2
    2×atan(0.224257540867653)-π/2
    2×0.220607646791578-π/2
    0.441215293583156-1.57079632675     		φ = -1.12958103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94732901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.277954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12958103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.720226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85298 KachelY 96722 0.94732901 -1.12958103 54.277954 -64.720226
    Oben rechts KachelX + 1 85299 KachelY 96722 0.94737695 -1.12958103 54.280701 -64.720226
    Unten links KachelX 85298 KachelY + 1 96723 0.94732901 -1.12960150 54.277954 -64.721398
    Unten rechts KachelX + 1 85299 KachelY + 1 96723 0.94737695 -1.12960150 54.280701 -64.721398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12958103--1.12960150) × R
    2.04699999999391e-05 × 6371000     		dl = 130.414369999612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12958103--1.12960150) × R
    2.04699999999391e-05 × 6371000     		dr = 130.414369999612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94732901-0.94737695) × cos(-1.12958103) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.427038692047008 × 6371000     		do = 130.428608527004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94732901-0.94737695) × cos(-1.12960150) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.427020182300818 × 6371000     		du = 130.422955174077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12958103)-sin(-1.12960150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427038692047008-0.427020182300818)×R²
    abs(0.94737695-0.94732901)×1.85097461902206e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85097461902206e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85097461902206e-05×40589641000000     		ar = 17009.396172316m²