Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85292 / 97103
↖ ↑ ↗
← S 65.163425°
E 54.261475°		 ← 128.29 m → S 65.163425°
E 54.264221°		 →
↑
128.31 m
↓
↑
128.31 m
↓
S 65.164579°
E 54.261475°		 ← 128.28 m →
16 461 m²		 S 65.164579°
E 54.264221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.650730133056641 y=0.740840911865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.650730133056641 × 217)
    floor (0.650730133056641 × 131072)
    floor (85292.5)     		tx = 85292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740840911865234 × 217)
    floor (0.740840911865234 × 131072)
    floor (97103.5)     		ty = 97103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85292 / 97103 ti = "17/85292/97103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85292/97103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85292 ÷ 217
    85292 ÷ 131072     		x = 0.650726318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97103 ÷ 217
    97103 ÷ 131072     		y = 0.740837097167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.650726318359375 × 2 - 1) × π
    0.30145263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.94704139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740837097167969 × 2 - 1) × π
    -0.481674194335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.51322411030631
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94704139} λ = 0.94704139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51322411030631))-π/2
    2×atan(0.220198886756885)-π/2
    2×0.216740002090059-π/2
    0.433480004180118-1.57079632675     		φ = -1.13731632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94704139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.261475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13731632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.163425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85292 KachelY 97103 0.94704139 -1.13731632 54.261475 -65.163425
    Oben rechts KachelX + 1 85293 KachelY 97103 0.94708933 -1.13731632 54.264221 -65.163425
    Unten links KachelX 85292 KachelY + 1 97104 0.94704139 -1.13733646 54.261475 -65.164579
    Unten rechts KachelX + 1 85293 KachelY + 1 97104 0.94708933 -1.13733646 54.264221 -65.164579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13731632--1.13733646) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dl = 128.311939999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13731632--1.13733646) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dr = 128.311939999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94704139-0.94708933) × cos(-1.13731632) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420031478786377 × 6371000     		do = 128.288425231539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94704139-0.94708933) × cos(-1.13733646) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420013201459149 × 6371000     		du = 128.282842865345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13731632)-sin(-1.13733646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420031478786377-0.420013201459149)×R²
    abs(0.94708933-0.94704139)×1.82773272280334e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82773272280334e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82773272280334e-05×40589641000000     		ar = 16460.5785795735m²