Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8529 / 7889
↖ ↑ ↗
← N 79.479615°
W133.148804°		 ← 111.52 m → N 79.479615°
W133.143311°		 →
↑
111.56 m
↓
↑
111.56 m
↓
N 79.478612°
W133.148804°		 ← 111.53 m →
12 441 m²		 N 79.478612°
W133.143311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130149841308594 y=0.120384216308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130149841308594 × 216)
    floor (0.130149841308594 × 65536)
    floor (8529.5)     		tx = 8529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120384216308594 × 216)
    floor (0.120384216308594 × 65536)
    floor (7889.5)     		ty = 7889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8529 / 7889 ti = "16/8529/7889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8529/7889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8529 ÷ 216
    8529 ÷ 65536     		x = 0.130142211914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7889 ÷ 216
    7889 ÷ 65536     		y = 0.120376586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130142211914062 × 2 - 1) × π
    -0.739715576171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.32388502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120376586914062 × 2 - 1) × π
    0.759246826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38524425129475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32388502} λ = -2.32388502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38524425129475))-π/2
    2×atan(10.8617153289814)-π/2
    2×1.47898864818577-π/2
    2.95797729637154-1.57079632675     		φ = 1.38718097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32388502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.148804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38718097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.479615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8529 KachelY 7889 -2.32388502 1.38718097 -133.148804 79.479615
    Oben rechts KachelX + 1 8530 KachelY 7889 -2.32378915 1.38718097 -133.143311 79.479615
    Unten links KachelX 8529 KachelY + 1 7890 -2.32388502 1.38716346 -133.148804 79.478612
    Unten rechts KachelX + 1 8530 KachelY + 1 7890 -2.32378915 1.38716346 -133.143311 79.478612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38718097-1.38716346) × R
    1.75099999999428e-05 × 6371000     		dl = 111.556209999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38718097-1.38716346) × R
    1.75099999999428e-05 × 6371000     		dr = 111.556209999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32388502--2.32378915) × cos(1.38718097) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182585341627951 × 6371000     		do = 111.520893647622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32388502--2.32378915) × cos(1.38716346) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18260255725701 × 6371000     		du = 111.531408743304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38718097)-sin(1.38716346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182585341627951-0.18260255725701)×R²
    abs(-2.32378915--2.32388502)×1.72156290594028e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72156290594028e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72156290594028e-05×40589641000000     		ar = 12441.4347435649m²