Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8527 / 8627
↖ ↑ ↗
← S  9.514079°
E  7.360840°		 ← 2 409.67 m → S  9.514079°
E  7.382813°		 →
↑
2 409.58 m
↓
↑
2 409.58 m
↓
S  9.535749°
E  7.360840°		 ← 2 409.52 m →
5 806 102 m²		 S  9.535749°
E  7.382813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520477294921875 y=0.526580810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520477294921875 × 214)
    floor (0.520477294921875 × 16384)
    floor (8527.5)     		tx = 8527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526580810546875 × 214)
    floor (0.526580810546875 × 16384)
    floor (8627.5)     		ty = 8627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8527 / 8627 ti = "14/8527/8627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8527/8627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8527 ÷ 214
    8527 ÷ 16384     		x = 0.52044677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8627 ÷ 214
    8627 ÷ 16384     		y = 0.52655029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52044677734375 × 2 - 1) × π
    0.0408935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12847089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52655029296875 × 2 - 1) × π
    -0.0531005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.166820410677795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12847089} λ = 0.12847089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.166820410677795))-π/2
    2×atan(0.846351593398607)-π/2
    2×0.702372159184266-π/2
    1.40474431836853-1.57079632675     		φ = -0.16605201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12847089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.360840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16605201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.514079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8527 KachelY 8627 0.12847089 -0.16605201 7.360840 -9.514079
    Oben rechts KachelX + 1 8528 KachelY 8627 0.12885439 -0.16605201 7.382813 -9.514079
    Unten links KachelX 8527 KachelY + 1 8628 0.12847089 -0.16643022 7.360840 -9.535749
    Unten rechts KachelX + 1 8528 KachelY + 1 8628 0.12885439 -0.16643022 7.382813 -9.535749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16605201--0.16643022) × R
    0.00037820999999999 × 6371000     		dl = 2409.57590999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16605201--0.16643022) × R
    0.00037820999999999 × 6371000     		dr = 2409.57590999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12847089-0.12885439) × cos(-0.16605201) × R
    0.000383500000000009 × 0.986245014436599 × 6371000     		do = 2409.67123950519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12847089-0.12885439) × cos(-0.16643022) × R
    0.000383500000000009 × 0.98618242958398 × 6371000     		du = 2409.51832728036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16605201)-sin(-0.16643022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986245014436599-0.98618242958398)×R²
    abs(0.12885439-0.12847089)×6.25848526184525e-05×R²
    0.000383500000000009×6.25848526184525e-05×6371000²
    0.000383500000000009×6.25848526184525e-05×40589641000000     		ar = 5806101.61213486m²