Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8527 / 8594
↖ ↑ ↗
← S  8.798225°
E  7.360840°		 ← 2 414.53 m → S  8.798225°
E  7.382813°		 →
↑
2 414.42 m
↓
↑
2 414.42 m
↓
S  8.819939°
E  7.360840°		 ← 2 414.39 m →
5 829 510 m²		 S  8.819939°
E  7.382813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520477294921875 y=0.524566650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520477294921875 × 214)
    floor (0.520477294921875 × 16384)
    floor (8527.5)     		tx = 8527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524566650390625 × 214)
    floor (0.524566650390625 × 16384)
    floor (8594.5)     		ty = 8594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8527 / 8594 ti = "14/8527/8594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8527/8594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8527 ÷ 214
    8527 ÷ 16384     		x = 0.52044677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8594 ÷ 214
    8594 ÷ 16384     		y = 0.5245361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52044677734375 × 2 - 1) × π
    0.0408935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12847089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5245361328125 × 2 - 1) × π
    -0.049072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.154165069178101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12847089} λ = 0.12847089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.154165069178101))-π/2
    2×atan(0.857130523502301)-π/2
    2×0.708619162103313-π/2
    1.41723832420663-1.57079632675     		φ = -0.15355800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12847089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.360840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15355800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.798225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8527 KachelY 8594 0.12847089 -0.15355800 7.360840 -8.798225
    Oben rechts KachelX + 1 8528 KachelY 8594 0.12885439 -0.15355800 7.382813 -8.798225
    Unten links KachelX 8527 KachelY + 1 8595 0.12847089 -0.15393697 7.360840 -8.819939
    Unten rechts KachelX + 1 8528 KachelY + 1 8595 0.12885439 -0.15393697 7.382813 -8.819939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15355800--0.15393697) × R
    0.000378970000000006 × 6371000     		dl = 2414.41787000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15355800--0.15393697) × R
    0.000378970000000006 × 6371000     		dr = 2414.41787000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12847089-0.12885439) × cos(-0.15355800) × R
    0.000383500000000009 × 0.988233119582641 × 6371000     		do = 2414.52873406425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12847089-0.12885439) × cos(-0.15393697) × R
    0.000383500000000009 × 0.988175083177625 × 6371000     		du = 2414.38693496366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15355800)-sin(-0.15393697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988233119582641-0.988175083177625)×R²
    abs(0.12885439-0.12847089)×5.80364050167814e-05×R²
    0.000383500000000009×5.80364050167814e-05×6371000²
    0.000383500000000009×5.80364050167814e-05×40589641000000     		ar = 5829510.21178109m²