Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8527 / 8533
↖ ↑ ↗
← S  7.471411°
E  7.360840°		 ← 2 422.53 m → S  7.471411°
E  7.382813°		 →
↑
2 422.45 m
↓
↑
2 422.45 m
↓
S  7.493196°
E  7.360840°		 ← 2 422.41 m →
5 868 312 m²		 S  7.493196°
E  7.382813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520477294921875 y=0.520843505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520477294921875 × 214)
    floor (0.520477294921875 × 16384)
    floor (8527.5)     		tx = 8527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.520843505859375 × 214)
    floor (0.520843505859375 × 16384)
    floor (8533.5)     		ty = 8533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8527 / 8533 ti = "14/8527/8533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8527/8533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8527 ÷ 214
    8527 ÷ 16384     		x = 0.52044677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8533 ÷ 214
    8533 ÷ 16384     		y = 0.52081298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52044677734375 × 2 - 1) × π
    0.0408935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12847089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52081298828125 × 2 - 1) × π
    -0.0416259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.130771862163513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12847089} λ = 0.12847089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.130771862163513))-π/2
    2×atan(0.877417923786178)-π/2
    2×0.720197803339169-π/2
    1.44039560667834-1.57079632675     		φ = -0.13040072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12847089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.360840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13040072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.471411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8527 KachelY 8533 0.12847089 -0.13040072 7.360840 -7.471411
    Oben rechts KachelX + 1 8528 KachelY 8533 0.12885439 -0.13040072 7.382813 -7.471411
    Unten links KachelX 8527 KachelY + 1 8534 0.12847089 -0.13078095 7.360840 -7.493196
    Unten rechts KachelX + 1 8528 KachelY + 1 8534 0.12885439 -0.13078095 7.382813 -7.493196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13040072--0.13078095) × R
    0.000380230000000009 × 6371000     		dl = 2422.44533000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13040072--0.13078095) × R
    0.000380230000000009 × 6371000     		dr = 2422.44533000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12847089-0.12885439) × cos(-0.13040072) × R
    0.000383500000000009 × 0.99150986711177 × 6371000     		do = 2422.5347408521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12847089-0.12885439) × cos(-0.13078095) × R
    0.000383500000000009 × 0.991460353573092 × 6371000     		du = 2422.41376548759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13040072)-sin(-0.13078095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99150986711177-0.991460353573092)×R²
    abs(0.12885439-0.12847089)×4.95135386782142e-05×R²
    0.000383500000000009×4.95135386782142e-05×6371000²
    0.000383500000000009×4.95135386782142e-05×40589641000000     		ar = 5868311.51233746m²