Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8525 / 8613
↖ ↑ ↗
← S  9.210560°
E  7.316894°		 ← 2 411.78 m → S  9.210560°
E  7.338867°		 →
↑
2 411.68 m
↓
↑
2 411.68 m
↓
S  9.232249°
E  7.316894°		 ← 2 411.63 m →
5 816 251 m²		 S  9.232249°
E  7.338867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520355224609375 y=0.525726318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520355224609375 × 214)
    floor (0.520355224609375 × 16384)
    floor (8525.5)     		tx = 8525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525726318359375 × 214)
    floor (0.525726318359375 × 16384)
    floor (8613.5)     		ty = 8613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8525 / 8613 ti = "14/8525/8613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8525/8613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8525 ÷ 214
    8525 ÷ 16384     		x = 0.52032470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8613 ÷ 214
    8613 ÷ 16384     		y = 0.52569580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52032470703125 × 2 - 1) × π
    0.0406494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12770390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52569580078125 × 2 - 1) × π
    -0.0513916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.161451477920349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12770390} λ = 0.12770390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.161451477920349))-π/2
    2×atan(0.850907818280638)-π/2
    2×0.705020863484235-π/2
    1.41004172696847-1.57079632675     		φ = -0.16075460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12770390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.316894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16075460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.210560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8525 KachelY 8613 0.12770390 -0.16075460 7.316894 -9.210560
    Oben rechts KachelX + 1 8526 KachelY 8613 0.12808740 -0.16075460 7.338867 -9.210560
    Unten links KachelX 8525 KachelY + 1 8614 0.12770390 -0.16113314 7.316894 -9.232249
    Unten rechts KachelX + 1 8526 KachelY + 1 8614 0.12808740 -0.16113314 7.338867 -9.232249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16075460--0.16113314) × R
    0.000378540000000011 × 6371000     		dl = 2411.67834000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16075460--0.16113314) × R
    0.000378540000000011 × 6371000     		dr = 2411.67834000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12770390-0.12808740) × cos(-0.16075460) × R
    0.000383499999999981 × 0.987106780794286 × 6371000     		do = 2411.77677471877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12770390-0.12808740) × cos(-0.16113314) × R
    0.000383499999999981 × 0.98704611977868 × 6371000     		du = 2411.62856296355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16075460)-sin(-0.16113314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987106780794286-0.98704611977868)×R²
    abs(0.12808740-0.12770390)×6.06610156064225e-05×R²
    0.000383499999999981×6.06610156064225e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.06610156064225e-05×40589641000000     		ar = 5816251.15841661m²