Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8524 / 7804
↖ ↑ ↗
← N 79.564527°
W133.176270°		 ← 110.64 m → N 79.564527°
W133.170776°		 →
↑
110.60 m
↓
↑
110.60 m
↓
N 79.563532°
W133.176270°		 ← 110.65 m →
12 238 m²		 N 79.563532°
W133.170776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130073547363281 y=0.119087219238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130073547363281 × 216)
    floor (0.130073547363281 × 65536)
    floor (8524.5)     		tx = 8524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119087219238281 × 216)
    floor (0.119087219238281 × 65536)
    floor (7804.5)     		ty = 7804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8524 / 7804 ti = "16/8524/7804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8524/7804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8524 ÷ 216
    8524 ÷ 65536     		x = 0.13006591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7804 ÷ 216
    7804 ÷ 65536     		y = 0.11907958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13006591796875 × 2 - 1) × π
    -0.7398681640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.32436439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11907958984375 × 2 - 1) × π
    0.7618408203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39339352423016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32436439} λ = -2.32436439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39339352423016))-π/2
    2×atan(10.9505920602514)-π/2
    2×1.47972964430636-π/2
    2.95945928861271-1.57079632675     		φ = 1.38866296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32436439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.176270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38866296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.564527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8524 KachelY 7804 -2.32436439 1.38866296 -133.176270 79.564527
    Oben rechts KachelX + 1 8525 KachelY 7804 -2.32426851 1.38866296 -133.170776 79.564527
    Unten links KachelX 8524 KachelY + 1 7805 -2.32436439 1.38864560 -133.176270 79.563532
    Unten rechts KachelX + 1 8525 KachelY + 1 7805 -2.32426851 1.38864560 -133.170776 79.563532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38866296-1.38864560) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dl = 110.600559999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38866296-1.38864560) × R
    1.73599999999663e-05 × 6371000     		dr = 110.600559999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32436439--2.32426851) × cos(1.38866296) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.181128063894917 × 6371000     		do = 110.642345899672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32436439--2.32426851) × cos(1.38864560) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.181145136724864 × 6371000     		du = 110.652774863113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38866296)-sin(1.38864560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181128063894917-0.181145136724864)×R²
    abs(-2.32426851--2.32436439)×1.70728299465073e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.70728299465073e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.70728299465073e-05×40589641000000     		ar = 12237.6821413028m²