Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85232 / 97168
↖ ↑ ↗
← S 65.238307°
E 54.096679°		 ← 127.93 m → S 65.238307°
E 54.099426°		 →
↑
127.93 m
↓
↑
127.93 m
↓
S 65.239457°
E 54.096679°		 ← 127.92 m →
16 365 m²		 S 65.239457°
E 54.099426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.650272369384766 y=0.741336822509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.650272369384766 × 217)
    floor (0.650272369384766 × 131072)
    floor (85232.5)     		tx = 85232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741336822509766 × 217)
    floor (0.741336822509766 × 131072)
    floor (97168.5)     		ty = 97168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85232 / 97168 ti = "17/85232/97168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85232/97168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85232 ÷ 217
    85232 ÷ 131072     		x = 0.6502685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97168 ÷ 217
    97168 ÷ 131072     		y = 0.7413330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6502685546875 × 2 - 1) × π
    0.300537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.94416517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7413330078125 × 2 - 1) × π
    -0.482666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51634000878162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94416517} λ = 0.94416517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51634000878162))-π/2
    2×atan(0.21951383720805)-π/2
    2×0.216086538894847-π/2
    0.432173077789695-1.57079632675     		φ = -1.13862325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94416517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.096679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13862325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.238307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85232 KachelY 97168 0.94416517 -1.13862325 54.096679 -65.238307
    Oben rechts KachelX + 1 85233 KachelY 97168 0.94421311 -1.13862325 54.099426 -65.238307
    Unten links KachelX 85232 KachelY + 1 97169 0.94416517 -1.13864333 54.096679 -65.239457
    Unten rechts KachelX + 1 85233 KachelY + 1 97169 0.94421311 -1.13864333 54.099426 -65.239457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13862325--1.13864333) × R
    2.00800000000889e-05 × 6371000     		dl = 127.929680000566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13862325--1.13864333) × R
    2.00800000000889e-05 × 6371000     		dr = 127.929680000566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94416517-0.94421311) × cos(-1.13862325) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41884506896623 × 6371000     		do = 127.926065134278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94416517-0.94421311) × cos(-1.13864333) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418826835082935 × 6371000     		du = 127.92049603698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13862325)-sin(-1.13864333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41884506896623-0.418826835082935)×R²
    abs(0.94421311-0.94416517)×1.82338832949713e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82338832949713e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82338832949713e-05×40589641000000     		ar = 16365.1843503696m²