Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8523 / 8666
↖ ↑ ↗
← S 10.358152°
E  7.272949°		 ← 2 403.46 m → S 10.358152°
E  7.294922°		 →
↑
2 403.33 m
↓
↑
2 403.33 m
↓
S 10.379765°
E  7.272949°		 ← 2 403.29 m →
5 776 115 m²		 S 10.379765°
E  7.294922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520233154296875 y=0.528961181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520233154296875 × 214)
    floor (0.520233154296875 × 16384)
    floor (8523.5)     		tx = 8523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528961181640625 × 214)
    floor (0.528961181640625 × 16384)
    floor (8666.5)     		ty = 8666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8523 / 8666 ti = "14/8523/8666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8523/8666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8523 ÷ 214
    8523 ÷ 16384     		x = 0.52020263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8666 ÷ 214
    8666 ÷ 16384     		y = 0.5289306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52020263671875 × 2 - 1) × π
    0.0404052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12693691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5289306640625 × 2 - 1) × π
    -0.057861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.181776723359253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12693691} λ = 0.12693691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.181776723359253))-π/2
    2×atan(0.83378748490283)-π/2
    2×0.695006240216739-π/2
    1.39001248043348-1.57079632675     		φ = -0.18078385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12693691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.272949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18078385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.358152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8523 KachelY 8666 0.12693691 -0.18078385 7.272949 -10.358152
    Oben rechts KachelX + 1 8524 KachelY 8666 0.12732041 -0.18078385 7.294922 -10.358152
    Unten links KachelX 8523 KachelY + 1 8667 0.12693691 -0.18116108 7.272949 -10.379765
    Unten rechts KachelX + 1 8524 KachelY + 1 8667 0.12732041 -0.18116108 7.294922 -10.379765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18078385--0.18116108) × R
    0.000377230000000006 × 6371000     		dl = 2403.33233000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18078385--0.18116108) × R
    0.000377230000000006 × 6371000     		dr = 2403.33233000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12693691-0.12732041) × cos(-0.18078385) × R
    0.000383500000000009 × 0.983703058224352 × 6371000     		do = 2403.46053254386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12693691-0.12732041) × cos(-0.18116108) × R
    0.000383500000000009 × 0.983635162014618 × 6371000     		du = 2403.29464319439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18078385)-sin(-0.18116108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983703058224352-0.983635162014618)×R²
    abs(0.12732041-0.12693691)×6.78962097344638e-05×R²
    0.000383500000000009×6.78962097344638e-05×6371000²
    0.000383500000000009×6.78962097344638e-05×40589641000000     		ar = 5776115.12661994m²