Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8523 / 8618
↖ ↑ ↗
← S  9.318990°
E  7.272949°		 ← 2 411.03 m → S  9.318990°
E  7.294922°		 →
↑
2 410.91 m
↓
↑
2 410.91 m
↓
S  9.340672°
E  7.272949°		 ← 2 410.88 m →
5 812 611 m²		 S  9.340672°
E  7.294922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520233154296875 y=0.526031494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520233154296875 × 214)
    floor (0.520233154296875 × 16384)
    floor (8523.5)     		tx = 8523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526031494140625 × 214)
    floor (0.526031494140625 × 16384)
    floor (8618.5)     		ty = 8618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8523 / 8618 ti = "14/8523/8618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8523/8618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8523 ÷ 214
    8523 ÷ 16384     		x = 0.52020263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8618 ÷ 214
    8618 ÷ 16384     		y = 0.5260009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52020263671875 × 2 - 1) × π
    0.0404052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12693691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5260009765625 × 2 - 1) × π
    -0.052001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.163368953905151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12693691} λ = 0.12693691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.163368953905151))-π/2
    2×atan(0.849277786246875)-π/2
    2×0.704074632490551-π/2
    1.4081492649811-1.57079632675     		φ = -0.16264706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12693691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.272949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16264706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.318990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8523 KachelY 8618 0.12693691 -0.16264706 7.272949 -9.318990
    Oben rechts KachelX + 1 8524 KachelY 8618 0.12732041 -0.16264706 7.294922 -9.318990
    Unten links KachelX 8523 KachelY + 1 8619 0.12693691 -0.16302548 7.272949 -9.340672
    Unten rechts KachelX + 1 8524 KachelY + 1 8619 0.12732041 -0.16302548 7.294922 -9.340672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16264706--0.16302548) × R
    0.00037841999999999 × 6371000     		dl = 2410.91381999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16264706--0.16302548) × R
    0.00037841999999999 × 6371000     		dr = 2410.91381999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12693691-0.12732041) × cos(-0.16264706) × R
    0.000383500000000009 × 0.986802100303568 × 6371000     		do = 2411.03235542661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12693691-0.12732041) × cos(-0.16302548) × R
    0.000383500000000009 × 0.986740751759783 × 6371000     		du = 2410.88246384857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16264706)-sin(-0.16302548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986802100303568-0.986740751759783)×R²
    abs(0.12732041-0.12693691)×6.13485437844785e-05×R²
    0.000383500000000009×6.13485437844785e-05×6371000²
    0.000383500000000009×6.13485437844785e-05×40589641000000     		ar = 5812610.60769116m²