Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85222 / 97059
↖ ↑ ↗
← S 65.112616°
E 54.069214°		 ← 128.51 m → S 65.112616°
E 54.071960°		 →
↑
128.57 m
↓
↑
128.57 m
↓
S 65.113772°
E 54.069214°		 ← 128.50 m →
16 521 m²		 S 65.113772°
E 54.071960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.650196075439453 y=0.740505218505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.650196075439453 × 217)
    floor (0.650196075439453 × 131072)
    floor (85222.5)     		tx = 85222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740505218505859 × 217)
    floor (0.740505218505859 × 131072)
    floor (97059.5)     		ty = 97059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85222 / 97059 ti = "17/85222/97059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85222/97059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85222 ÷ 217
    85222 ÷ 131072     		x = 0.650192260742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97059 ÷ 217
    97059 ÷ 131072     		y = 0.740501403808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.650192260742188 × 2 - 1) × π
    0.300384521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.94368581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740501403808594 × 2 - 1) × π
    -0.481002807617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.51111488672303
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94368581} λ = 0.94368581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51111488672303))-π/2
    2×atan(0.220663825599462)-π/2
    2×0.217183396404045-π/2
    0.43436679280809-1.57079632675     		φ = -1.13642953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94368581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.069214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13642953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.112616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85222 KachelY 97059 0.94368581 -1.13642953 54.069214 -65.112616
    Oben rechts KachelX + 1 85223 KachelY 97059 0.94373374 -1.13642953 54.071960 -65.112616
    Unten links KachelX 85222 KachelY + 1 97060 0.94368581 -1.13644971 54.069214 -65.113772
    Unten rechts KachelX + 1 85223 KachelY + 1 97060 0.94373374 -1.13644971 54.071960 -65.113772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13642953--1.13644971) × R
    2.01799999999253e-05 × 6371000     		dl = 128.566779999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13642953--1.13644971) × R
    2.01799999999253e-05 × 6371000     		dr = 128.566779999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94368581-0.94373374) × cos(-1.13642953) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.420836083906157 × 6371000     		do = 128.507360878913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94368581-0.94373374) × cos(-1.13644971) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.420817777801886 × 6371000     		du = 128.501770889751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13642953)-sin(-1.13644971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420836083906157-0.420817777801886)×R²
    abs(0.94373374-0.94368581)×1.83061042714483e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83061042714483e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83061042714483e-05×40589641000000     		ar = 16521.4182515866m²