Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85221 / 97062
↖ ↑ ↗
← S 65.116083°
E 54.066467°		 ← 128.52 m → S 65.116083°
E 54.069214°		 →
↑
128.50 m
↓
↑
128.50 m
↓
S 65.117239°
E 54.066467°		 ← 128.51 m →
16 515 m²		 S 65.117239°
E 54.069214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.650188446044922 y=0.740528106689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.650188446044922 × 217)
    floor (0.650188446044922 × 131072)
    floor (85221.5)     		tx = 85221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740528106689453 × 217)
    floor (0.740528106689453 × 131072)
    floor (97062.5)     		ty = 97062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85221 / 97062 ti = "17/85221/97062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85221/97062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85221 ÷ 217
    85221 ÷ 131072     		x = 0.650184631347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97062 ÷ 217
    97062 ÷ 131072     		y = 0.740524291992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.650184631347656 × 2 - 1) × π
    0.300369262695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.94363787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740524291992188 × 2 - 1) × π
    -0.481048583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51125869742189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94363787} λ = 0.94363787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51125869742189))-π/2
    2×atan(0.220632094062211)-π/2
    2×0.217153138012394-π/2
    0.434306276024788-1.57079632675     		φ = -1.13649005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94363787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.066467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13649005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.116083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85221 KachelY 97062 0.94363787 -1.13649005 54.066467 -65.116083
    Oben rechts KachelX + 1 85222 KachelY 97062 0.94368581 -1.13649005 54.069214 -65.116083
    Unten links KachelX 85221 KachelY + 1 97063 0.94363787 -1.13651022 54.066467 -65.117239
    Unten rechts KachelX + 1 85222 KachelY + 1 97063 0.94368581 -1.13651022 54.069214 -65.117239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13649005--1.13651022) × R
    2.0169999999986e-05 × 6371000     		dl = 128.503069999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13649005--1.13651022) × R
    2.0169999999986e-05 × 6371000     		dr = 128.503069999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94363787-0.94368581) × cos(-1.13649005) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420781183222482 × 6371000     		do = 128.517404263718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94363787-0.94368581) × cos(-1.13651022) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420762885675997 × 6371000     		du = 128.511815722043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13649005)-sin(-1.13651022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420781183222482-0.420762885675997)×R²
    abs(0.94368581-0.94363787)×1.82975464846358e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82975464846358e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82975464846358e-05×40589641000000     		ar = 16514.5219244759m²