Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8522 / 9047
↖ ↑ ↗
← S 18.458768°
E  7.250976°		 ← 2 317.58 m → S 18.458768°
E  7.272949°		 →
↑
2 317.39 m
↓
↑
2 317.39 m
↓
S 18.479609°
E  7.250976°		 ← 2 317.29 m →
5 370 396 m²		 S 18.479609°
E  7.272949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520172119140625 y=0.552215576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520172119140625 × 214)
    floor (0.520172119140625 × 16384)
    floor (8522.5)     		tx = 8522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552215576171875 × 214)
    floor (0.552215576171875 × 16384)
    floor (9047.5)     		ty = 9047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8522 / 9047 ti = "14/8522/9047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8522/9047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8522 ÷ 214
    8522 ÷ 16384     		x = 0.5201416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9047 ÷ 214
    9047 ÷ 16384     		y = 0.55218505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5201416015625 × 2 - 1) × π
    0.040283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12655341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55218505859375 × 2 - 1) × π
    -0.1043701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.327888393401184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12655341} λ = 0.12655341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.327888393401184))-π/2
    2×atan(0.720443421458443)-π/2
    2×0.624315023623679-π/2
    1.24863004724736-1.57079632675     		φ = -0.32216628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12655341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.250976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32216628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.458768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8522 KachelY 9047 0.12655341 -0.32216628 7.250976 -18.458768
    Oben rechts KachelX + 1 8523 KachelY 9047 0.12693691 -0.32216628 7.272949 -18.458768
    Unten links KachelX 8522 KachelY + 1 9048 0.12655341 -0.32253002 7.250976 -18.479609
    Unten rechts KachelX + 1 8523 KachelY + 1 9048 0.12693691 -0.32253002 7.272949 -18.479609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32216628--0.32253002) × R
    0.000363739999999946 × 6371000     		dl = 2317.38753999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32216628--0.32253002) × R
    0.000363739999999946 × 6371000     		dr = 2317.38753999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12655341-0.12693691) × cos(-0.32216628) × R
    0.000383499999999981 × 0.948551752096063 × 6371000     		do = 2317.57610203353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12655341-0.12693691) × cos(-0.32253002) × R
    0.000383499999999981 × 0.948436521214896 × 6371000     		du = 2317.29456089903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32216628)-sin(-0.32253002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948551752096063-0.948436521214896)×R²
    abs(0.12693691-0.12655341)×0.000115230881167383×R²
    0.000383499999999981×0.000115230881167383×6371000²
    0.000383499999999981×0.000115230881167383×40589641000000     		ar = 5370395.82110667m²