Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85219 / 97064
↖ ↑ ↗
← S 65.118395°
E 54.060974°		 ← 128.48 m → S 65.118395°
E 54.063721°		 →
↑
128.50 m
↓
↑
128.50 m
↓
S 65.119550°
E 54.060974°		 ← 128.47 m →
16 510 m²		 S 65.119550°
E 54.063721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.650173187255859 y=0.740543365478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.650173187255859 × 217)
    floor (0.650173187255859 × 131072)
    floor (85219.5)     		tx = 85219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740543365478516 × 217)
    floor (0.740543365478516 × 131072)
    floor (97064.5)     		ty = 97064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85219 / 97064 ti = "17/85219/97064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85219/97064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85219 ÷ 217
    85219 ÷ 131072     		x = 0.650169372558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97064 ÷ 217
    97064 ÷ 131072     		y = 0.74053955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.650169372558594 × 2 - 1) × π
    0.300338745117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.94354200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74053955078125 × 2 - 1) × π
    -0.4810791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51135457122113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94354200} λ = 0.94354200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51135457122113))-π/2
    2×atan(0.220610942239088)-π/2
    2×0.21713296794423-π/2
    0.43426593588846-1.57079632675     		φ = -1.13653039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94354200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.060974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13653039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.118395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85219 KachelY 97064 0.94354200 -1.13653039 54.060974 -65.118395
    Oben rechts KachelX + 1 85220 KachelY 97064 0.94358993 -1.13653039 54.063721 -65.118395
    Unten links KachelX 85219 KachelY + 1 97065 0.94354200 -1.13655056 54.060974 -65.119550
    Unten rechts KachelX + 1 85220 KachelY + 1 97065 0.94358993 -1.13655056 54.063721 -65.119550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13653039--1.13655056) × R
    2.01700000002081e-05 × 6371000     		dl = 128.503070001326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13653039--1.13655056) × R
    2.01700000002081e-05 × 6371000     		dr = 128.503070001326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94354200-0.94358993) × cos(-1.13653039) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.420744587958334 × 6371000     		do = 128.479421490549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94354200-0.94358993) × cos(-1.13655056) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.420726290069499 × 6371000     		du = 128.47383401007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13653039)-sin(-1.13655056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420744587958334-0.420726290069499)×R²
    abs(0.94358993-0.94354200)×1.82978888344509e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82978888344509e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82978888344509e-05×40589641000000     		ar = 16509.6410899936m²