Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85216 / 97057
↖ ↑ ↗
← S 65.110304°
E 54.052734°		 ← 128.55 m → S 65.110304°
E 54.055481°		 →
↑
128.50 m
↓
↑
128.50 m
↓
S 65.111460°
E 54.052734°		 ← 128.54 m →
16 518 m²		 S 65.111460°
E 54.055481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.650150299072266 y=0.740489959716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.650150299072266 × 217)
    floor (0.650150299072266 × 131072)
    floor (85216.5)     		tx = 85216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740489959716797 × 217)
    floor (0.740489959716797 × 131072)
    floor (97057.5)     		ty = 97057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85216 / 97057 ti = "17/85216/97057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85216/97057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85216 ÷ 217
    85216 ÷ 131072     		x = 0.650146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97057 ÷ 217
    97057 ÷ 131072     		y = 0.740486145019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.650146484375 × 2 - 1) × π
    0.30029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.94339818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740486145019531 × 2 - 1) × π
    -0.480972290039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.51101901292379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94339818} λ = 0.94339818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51101901292379))-π/2
    2×atan(0.220684982492957)-π/2
    2×0.217203570858257-π/2
    0.434407141716513-1.57079632675     		φ = -1.13638919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94339818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.052734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13638919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.110304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85216 KachelY 97057 0.94339818 -1.13638919 54.052734 -65.110304
    Oben rechts KachelX + 1 85217 KachelY 97057 0.94344612 -1.13638919 54.055481 -65.110304
    Unten links KachelX 85216 KachelY + 1 97058 0.94339818 -1.13640936 54.052734 -65.111460
    Unten rechts KachelX + 1 85217 KachelY + 1 97058 0.94344612 -1.13640936 54.055481 -65.111460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13638919--1.13640936) × R
    2.0169999999986e-05 × 6371000     		dl = 128.503069999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13638919--1.13640936) × R
    2.0169999999986e-05 × 6371000     		dr = 128.503069999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94339818-0.94344612) × cos(-1.13638919) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.420872677458164 × 6371000     		do = 128.545348958654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94339818-0.94344612) × cos(-1.13640936) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.420854380767768 × 6371000     		du = 128.539760678451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13638919)-sin(-1.13640936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420872677458164-0.420854380767768)×R²
    abs(0.94344612-0.94339818)×1.82966903956028e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.82966903956028e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.82966903956028e-05×40589641000000     		ar = 16518.1129203326m²