Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8521 / 6493
↖ ↑ ↗
← N 80.791433°
W133.192749°		 ← 97.74 m → N 80.791433°
W133.187256°		 →
↑
97.73 m
↓
↑
97.73 m
↓
N 80.790554°
W133.192749°		 ← 97.75 m →
9 553 m²		 N 80.790554°
W133.187256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130027770996094 y=0.0990829467773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130027770996094 × 216)
    floor (0.130027770996094 × 65536)
    floor (8521.5)     		tx = 8521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0990829467773438 × 216)
    floor (0.0990829467773438 × 65536)
    floor (6493.5)     		ty = 6493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8521 / 6493 ti = "16/8521/6493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8521/6493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8521 ÷ 216
    8521 ÷ 65536     		x = 0.130020141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6493 ÷ 216
    6493 ÷ 65536     		y = 0.0990753173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130020141601562 × 2 - 1) × π
    -0.739959716796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.32465201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0990753173828125 × 2 - 1) × π
    0.801849365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.51908407503395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32465201} λ = -2.32465201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51908407503395))-π/2
    2×atan(12.4172182132992)-π/2
    2×1.49043641976712-π/2
    2.98087283953424-1.57079632675     		φ = 1.41007651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32465201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.192749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41007651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.791433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8521 KachelY 6493 -2.32465201 1.41007651 -133.192749 80.791433
    Oben rechts KachelX + 1 8522 KachelY 6493 -2.32455614 1.41007651 -133.187256 80.791433
    Unten links KachelX 8521 KachelY + 1 6494 -2.32465201 1.41006117 -133.192749 80.790554
    Unten rechts KachelX + 1 8522 KachelY + 1 6494 -2.32455614 1.41006117 -133.187256 80.790554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41007651-1.41006117) × R
    1.53399999998083e-05 × 6371000     		dl = 97.7311399987786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41007651-1.41006117) × R
    1.53399999998083e-05 × 6371000     		dr = 97.7311399987786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32465201--2.32455614) × cos(1.41007651) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160028788057569 × 6371000     		do = 97.7436265934829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32465201--2.32455614) × cos(1.41006117) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160043930342153 × 6371000     		du = 97.7528753157169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41007651)-sin(1.41006117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160028788057569-0.160043930342153)×R²
    abs(-2.32455614--2.32465201)×1.51422845843796e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51422845843796e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51422845843796e-05×40589641000000     		ar = 9553.04799907808m²