Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8520 / 8612
↖ ↑ ↗
← S  9.188870°
E  7.207031°		 ← 2 411.92 m → S  9.188870°
E  7.229004°		 →
↑
2 411.81 m
↓
↑
2 411.81 m
↓
S  9.210560°
E  7.207031°		 ← 2 411.78 m →
5 816 916 m²		 S  9.210560°
E  7.229004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520050048828125 y=0.525665283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520050048828125 × 214)
    floor (0.520050048828125 × 16384)
    floor (8520.5)     		tx = 8520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525665283203125 × 214)
    floor (0.525665283203125 × 16384)
    floor (8612.5)     		ty = 8612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8520 / 8612 ti = "14/8520/8612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8520/8612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8520 ÷ 214
    8520 ÷ 16384     		x = 0.52001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8612 ÷ 214
    8612 ÷ 16384     		y = 0.525634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52001953125 × 2 - 1) × π
    0.0400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12578642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525634765625 × 2 - 1) × π
    -0.05126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.161067982723389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12578642} λ = 0.12578642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.161067982723389))-π/2
    2×atan(0.851234199920901)-π/2
    2×0.705210144643685-π/2
    1.41042028928737-1.57079632675     		φ = -0.16037604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12578642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16037604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.188870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8520 KachelY 8612 0.12578642 -0.16037604 7.207031 -9.188870
    Oben rechts KachelX + 1 8521 KachelY 8612 0.12616992 -0.16037604 7.229004 -9.188870
    Unten links KachelX 8520 KachelY + 1 8613 0.12578642 -0.16075460 7.207031 -9.210560
    Unten rechts KachelX + 1 8521 KachelY + 1 8613 0.12616992 -0.16075460 7.229004 -9.210560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16037604--0.16075460) × R
    0.00037856 × 6371000     		dl = 2411.80576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16037604--0.16075460) × R
    0.00037856 × 6371000     		dr = 2411.80576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12578642-0.12616992) × cos(-0.16037604) × R
    0.000383499999999981 × 0.987167303558654 × 6371000     		do = 2411.92464868771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12578642-0.12616992) × cos(-0.16075460) × R
    0.000383499999999981 × 0.987106780794286 × 6371000     		du = 2411.77677471877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16037604)-sin(-0.16075460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987167303558654-0.987106780794286)×R²
    abs(0.12616992-0.12578642)×6.052276436741e-05×R²
    0.000383499999999981×6.052276436741e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.052276436741e-05×40589641000000     		ar = 5816915.50821319m²