Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8520 / 8601
↖ ↑ ↗
← S  8.950193°
E  7.207031°		 ← 2 413.53 m → S  8.950193°
E  7.229004°		 →
↑
2 413.46 m
↓
↑
2 413.46 m
↓
S  8.971897°
E  7.207031°		 ← 2 413.38 m →
5 824 787 m²		 S  8.971897°
E  7.229004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520050048828125 y=0.524993896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520050048828125 × 214)
    floor (0.520050048828125 × 16384)
    floor (8520.5)     		tx = 8520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524993896484375 × 214)
    floor (0.524993896484375 × 16384)
    floor (8601.5)     		ty = 8601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8520 / 8601 ti = "14/8520/8601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8520/8601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8520 ÷ 214
    8520 ÷ 16384     		x = 0.52001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8601 ÷ 214
    8601 ÷ 16384     		y = 0.52496337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52001953125 × 2 - 1) × π
    0.0400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12578642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.0499267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.156849535556824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12578642} λ = 0.12578642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.156849535556824))-π/2
    2×atan(0.854832671063518)-π/2
    2×0.707292996649796-π/2
    1.41458599329959-1.57079632675     		φ = -0.15621033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12578642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15621033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.950193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8520 KachelY 8601 0.12578642 -0.15621033 7.207031 -8.950193
    Oben rechts KachelX + 1 8521 KachelY 8601 0.12616992 -0.15621033 7.229004 -8.950193
    Unten links KachelX 8520 KachelY + 1 8602 0.12578642 -0.15658915 7.207031 -8.971897
    Unten rechts KachelX + 1 8521 KachelY + 1 8602 0.12616992 -0.15658915 7.229004 -8.971897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15621033--0.15658915) × R
    0.000378820000000002 × 6371000     		dl = 2413.46222000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15621033--0.15658915) × R
    0.000378820000000002 × 6371000     		dr = 2413.46222000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12578642-0.12616992) × cos(-0.15621033) × R
    0.000383499999999981 × 0.987823956285965 × 6371000     		do = 2413.52903417832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12578642-0.12616992) × cos(-0.15658915) × R
    0.000383499999999981 × 0.98776495018194 × 6371000     		du = 2413.38486583299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15621033)-sin(-0.15658915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987823956285965-0.98776495018194)×R²
    abs(0.12616992-0.12578642)×5.90061040252055e-05×R²
    0.000383499999999981×5.90061040252055e-05×6371000²
    0.000383499999999981×5.90061040252055e-05×40589641000000     		ar = 5824787.23809184m²