Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85194 / 97098
↖ ↑ ↗
← S 65.157657°
E 53.992309°		 ← 128.32 m → S 65.157657°
E 53.995056°		 →
↑
128.31 m
↓
↑
128.31 m
↓
S 65.158811°
E 53.992309°		 ← 128.31 m →
16 464 m²		 S 65.158811°
E 53.995056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649982452392578 y=0.740802764892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649982452392578 × 217)
    floor (0.649982452392578 × 131072)
    floor (85194.5)     		tx = 85194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740802764892578 × 217)
    floor (0.740802764892578 × 131072)
    floor (97098.5)     		ty = 97098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85194 / 97098 ti = "17/85194/97098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85194/97098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85194 ÷ 217
    85194 ÷ 131072     		x = 0.649978637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97098 ÷ 217
    97098 ÷ 131072     		y = 0.740798950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.649978637695312 × 2 - 1) × π
    0.299957275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.94234357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740798950195312 × 2 - 1) × π
    -0.481597900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51298442580821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94234357} λ = 0.94234357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51298442580821))-π/2
    2×atan(0.220251671342111)-π/2
    2×0.216790345081783-π/2
    0.433580690163566-1.57079632675     		φ = -1.13721564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94234357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.992309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13721564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.157657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85194 KachelY 97098 0.94234357 -1.13721564 53.992309 -65.157657
    Oben rechts KachelX + 1 85195 KachelY 97098 0.94239151 -1.13721564 53.995056 -65.157657
    Unten links KachelX 85194 KachelY + 1 97099 0.94234357 -1.13723578 53.992309 -65.158811
    Unten rechts KachelX + 1 85195 KachelY + 1 97099 0.94239151 -1.13723578 53.995056 -65.158811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13721564--1.13723578) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dl = 128.311939999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13721564--1.13723578) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dr = 128.311939999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94234357-0.94239151) × cos(-1.13721564) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420122844717429 × 6371000     		do = 128.316330738642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94234357-0.94239151) × cos(-1.13723578) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420104568241971 × 6371000     		du = 128.3107486326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13721564)-sin(-1.13723578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420122844717429-0.420104568241971)×R²
    abs(0.94239151-0.94234357)×1.82764754581566e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82764754581566e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82764754581566e-05×40589641000000     		ar = 16464.1592057274m²