Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85193 / 97099
↖ ↑ ↗
← S 65.158811°
E 53.989563°		 ← 128.28 m → S 65.158811°
E 53.992309°		 →
↑
128.25 m
↓
↑
128.25 m
↓
S 65.159964°
E 53.989563°		 ← 128.28 m →
16 452 m²		 S 65.159964°
E 53.992309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649974822998047 y=0.740810394287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649974822998047 × 217)
    floor (0.649974822998047 × 131072)
    floor (85193.5)     		tx = 85193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740810394287109 × 217)
    floor (0.740810394287109 × 131072)
    floor (97099.5)     		ty = 97099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85193 / 97099 ti = "17/85193/97099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85193/97099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85193 ÷ 217
    85193 ÷ 131072     		x = 0.649971008300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97099 ÷ 217
    97099 ÷ 131072     		y = 0.740806579589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.649971008300781 × 2 - 1) × π
    0.299942016601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.94229564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740806579589844 × 2 - 1) × π
    -0.481613159179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.51303236270783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94229564} λ = 0.94229564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51303236270783))-π/2
    2×atan(0.22024111341291)-π/2
    2×0.216780275607412-π/2
    0.433560551214823-1.57079632675     		φ = -1.13723578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94229564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.989563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13723578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.158811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85193 KachelY 97099 0.94229564 -1.13723578 53.989563 -65.158811
    Oben rechts KachelX + 1 85194 KachelY 97099 0.94234357 -1.13723578 53.992309 -65.158811
    Unten links KachelX 85193 KachelY + 1 97100 0.94229564 -1.13725591 53.989563 -65.159964
    Unten rechts KachelX + 1 85194 KachelY + 1 97100 0.94234357 -1.13725591 53.992309 -65.159964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13723578--1.13725591) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dl = 128.248230000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13723578--1.13725591) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dr = 128.248230000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94229564-0.94234357) × cos(-1.13723578) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.420104568241971 × 6371000     		do = 128.28398377072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94229564-0.94234357) × cos(-1.13725591) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.420086300670952 × 6371000     		du = 128.278405548151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13723578)-sin(-1.13725591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420104568241971-0.420086300670952)×R²
    abs(0.94234357-0.94229564)×1.82675710191926e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82675710191926e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82675710191926e-05×40589641000000     		ar = 16451.8361579916m²