Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85193 / 97095
↖ ↑ ↗
← S 65.154194°
E 53.989563°		 ← 128.31 m → S 65.154194°
E 53.992309°		 →
↑
128.38 m
↓
↑
128.38 m
↓
S 65.155349°
E 53.989563°		 ← 128.30 m →
16 471 m²		 S 65.155349°
E 53.992309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649974822998047 y=0.740779876708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649974822998047 × 217)
    floor (0.649974822998047 × 131072)
    floor (85193.5)     		tx = 85193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740779876708984 × 217)
    floor (0.740779876708984 × 131072)
    floor (97095.5)     		ty = 97095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85193 / 97095 ti = "17/85193/97095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85193/97095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85193 ÷ 217
    85193 ÷ 131072     		x = 0.649971008300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97095 ÷ 217
    97095 ÷ 131072     		y = 0.740776062011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.649971008300781 × 2 - 1) × π
    0.299942016601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.94229564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740776062011719 × 2 - 1) × π
    -0.481552124023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.51284061510935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94229564} λ = 0.94229564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51284061510935))-π/2
    2×atan(0.22028334816657)-π/2
    2×0.216820556133219-π/2
    0.433641112266437-1.57079632675     		φ = -1.13715521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94229564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.989563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13715521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.154194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85193 KachelY 97095 0.94229564 -1.13715521 53.989563 -65.154194
    Oben rechts KachelX + 1 85194 KachelY 97095 0.94234357 -1.13715521 53.992309 -65.154194
    Unten links KachelX 85193 KachelY + 1 97096 0.94229564 -1.13717536 53.989563 -65.155349
    Unten rechts KachelX + 1 85194 KachelY + 1 97096 0.94234357 -1.13717536 53.992309 -65.155349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13715521--1.13717536) × R
    2.01500000001076e-05 × 6371000     		dl = 128.375650000685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13715521--1.13717536) × R
    2.01500000001076e-05 × 6371000     		dr = 128.375650000685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94229564-0.94234357) × cos(-1.13715521) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.420177682195732 × 6371000     		do = 128.306309996062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94229564-0.94234357) × cos(-1.13717536) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.420159397157108 × 6371000     		du = 128.300726439549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13715521)-sin(-1.13717536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420177682195732-0.420159397157108)×R²
    abs(0.94234357-0.94229564)×1.82850386243882e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82850386243882e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82850386243882e-05×40589641000000     		ar = 16471.0475490599m²