Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8519 / 8675
↖ ↑ ↗
← S 10.552622°
E  7.185059°		 ← 2 401.89 m → S 10.552622°
E  7.207031°		 →
↑
2 401.80 m
↓
↑
2 401.80 m
↓
S 10.574222°
E  7.185059°		 ← 2 401.72 m →
5 768 672 m²		 S 10.574222°
E  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519989013671875 y=0.529510498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519989013671875 × 214)
    floor (0.519989013671875 × 16384)
    floor (8519.5)     		tx = 8519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529510498046875 × 214)
    floor (0.529510498046875 × 16384)
    floor (8675.5)     		ty = 8675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8519 / 8675 ti = "14/8519/8675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8519/8675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8519 ÷ 214
    8519 ÷ 16384     		x = 0.51995849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8675 ÷ 214
    8675 ÷ 16384     		y = 0.52947998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51995849609375 × 2 - 1) × π
    0.0399169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12540293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52947998046875 × 2 - 1) × π
    -0.0589599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.185228180131897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12540293} λ = 0.12540293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.185228180131897))-π/2
    2×atan(0.83091466400158)-π/2
    2×0.69330916581918-π/2
    1.38661833163836-1.57079632675     		φ = -0.18417800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12540293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.185059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18417800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.552622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8519 KachelY 8675 0.12540293 -0.18417800 7.185059 -10.552622
    Oben rechts KachelX + 1 8520 KachelY 8675 0.12578642 -0.18417800 7.207031 -10.552622
    Unten links KachelX 8519 KachelY + 1 8676 0.12540293 -0.18455499 7.185059 -10.574222
    Unten rechts KachelX + 1 8520 KachelY + 1 8676 0.12578642 -0.18455499 7.207031 -10.574222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18417800--0.18455499) × R
    0.000376989999999994 × 6371000     		dl = 2401.80328999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18417800--0.18455499) × R
    0.000376989999999994 × 6371000     		dr = 2401.80328999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12540293-0.12578642) × cos(-0.18417800) × R
    0.000383490000000014 × 0.983087122586634 × 6371000     		do = 2401.89299776229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12540293-0.12578642) × cos(-0.18455499) × R
    0.000383490000000014 × 0.983018011347067 × 6371000     		du = 2401.72414415963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18417800)-sin(-0.18455499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983087122586634-0.983018011347067)×R²
    abs(0.12578642-0.12540293)×6.91112395667659e-05×R²
    0.000383490000000014×6.91112395667659e-05×6371000²
    0.000383490000000014×6.91112395667659e-05×40589641000000     		ar = 5768671.79600502m²