Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8519 / 8531
↖ ↑ ↗
← S  7.427836°
E  7.185059°		 ← 2 422.71 m → S  7.427836°
E  7.207031°		 →
↑
2 422.70 m
↓
↑
2 422.70 m
↓
S  7.449624°
E  7.185059°		 ← 2 422.59 m →
5 869 360 m²		 S  7.449624°
E  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519989013671875 y=0.520721435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519989013671875 × 214)
    floor (0.519989013671875 × 16384)
    floor (8519.5)     		tx = 8519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.520721435546875 × 214)
    floor (0.520721435546875 × 16384)
    floor (8531.5)     		ty = 8531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8519 / 8531 ti = "14/8519/8531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8519/8531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8519 ÷ 214
    8519 ÷ 16384     		x = 0.51995849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8531 ÷ 214
    8531 ÷ 16384     		y = 0.52069091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51995849609375 × 2 - 1) × π
    0.0399169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12540293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52069091796875 × 2 - 1) × π
    -0.0413818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.130004871769592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12540293} λ = 0.12540293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.130004871769592))-π/2
    2×atan(0.878091153052362)-π/2
    2×0.720578061536095-π/2
    1.44115612307219-1.57079632675     		φ = -0.12964020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12540293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.185059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.12964020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.427836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8519 KachelY 8531 0.12540293 -0.12964020 7.185059 -7.427836
    Oben rechts KachelX + 1 8520 KachelY 8531 0.12578642 -0.12964020 7.207031 -7.427836
    Unten links KachelX 8519 KachelY + 1 8532 0.12540293 -0.13002047 7.185059 -7.449624
    Unten rechts KachelX + 1 8520 KachelY + 1 8532 0.12578642 -0.13002047 7.207031 -7.449624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.12964020--0.13002047) × R
    0.000380269999999988 × 6371000     		dl = 2422.70016999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.12964020--0.13002047) × R
    0.000380269999999988 × 6371000     		dr = 2422.70016999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12540293-0.12578642) × cos(-0.12964020) × R
    0.000383490000000014 × 0.991608471896459 × 6371000     		do = 2422.71248442682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12540293-0.12578642) × cos(-0.13002047) × R
    0.000383490000000014 × 0.991559239896146 × 6371000     		du = 2422.59220007551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.12964020)-sin(-0.13002047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991608471896459-0.991559239896146)×R²
    abs(0.12578642-0.12540293)×4.92320003125934e-05×R²
    0.000383490000000014×4.92320003125934e-05×6371000²
    0.000383490000000014×4.92320003125934e-05×40589641000000     		ar = 5869360.31215104m²