Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8516 / 7810
↖ ↑ ↗
← N 79.558555°
W133.220215°		 ← 110.69 m → N 79.558555°
W133.214722°		 →
↑
110.73 m
↓
↑
110.73 m
↓
N 79.557560°
W133.220215°		 ← 110.70 m →
12 257 m²		 N 79.557560°
W133.214722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129951477050781 y=0.119178771972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129951477050781 × 216)
    floor (0.129951477050781 × 65536)
    floor (8516.5)     		tx = 8516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119178771972656 × 216)
    floor (0.119178771972656 × 65536)
    floor (7810.5)     		ty = 7810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8516 / 7810 ti = "16/8516/7810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8516/7810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8516 ÷ 216
    8516 ÷ 65536     		x = 0.12994384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7810 ÷ 216
    7810 ÷ 65536     		y = 0.119171142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12994384765625 × 2 - 1) × π
    -0.7401123046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.32513138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119171142578125 × 2 - 1) × π
    0.76165771484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.39281828143472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32513138} λ = -2.32513138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39281828143472))-π/2
    2×atan(10.9442946225144)-π/2
    2×1.47967753326111-π/2
    2.95935506652222-1.57079632675     		φ = 1.38855874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32513138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.220215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38855874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.558555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8516 KachelY 7810 -2.32513138 1.38855874 -133.220215 79.558555
    Oben rechts KachelX + 1 8517 KachelY 7810 -2.32503551 1.38855874 -133.214722 79.558555
    Unten links KachelX 8516 KachelY + 1 7811 -2.32513138 1.38854136 -133.220215 79.557560
    Unten rechts KachelX + 1 8517 KachelY + 1 7811 -2.32503551 1.38854136 -133.214722 79.557560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38855874-1.38854136) × R
    1.73799999998447e-05 × 6371000     		dl = 110.727979999011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38855874-1.38854136) × R
    1.73799999998447e-05 × 6371000     		dr = 110.727979999011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32513138--2.32503551) × cos(1.38855874) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.181230559062058 × 6371000     		do = 110.693409025365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32513138--2.32503551) × cos(1.38854136) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.181247651232938 × 6371000     		du = 110.703848714301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38855874)-sin(1.38854136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181230559062058-0.181247651232938)×R²
    abs(-2.32503551--2.32513138)×1.70921708803617e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.70921708803617e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.70921708803617e-05×40589641000000     		ar = 12257.4355638221m²