Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85154 / 97125
↖ ↑ ↗
← S 65.188793°
E 53.882446°		 ← 128.14 m → S 65.188793°
E 53.885193°		 →
↑
128.18 m
↓
↑
128.18 m
↓
S 65.189946°
E 53.882446°		 ← 128.13 m →
16 425 m²		 S 65.189946°
E 53.885193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649677276611328 y=0.741008758544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649677276611328 × 217)
    floor (0.649677276611328 × 131072)
    floor (85154.5)     		tx = 85154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741008758544922 × 217)
    floor (0.741008758544922 × 131072)
    floor (97125.5)     		ty = 97125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85154 / 97125 ti = "17/85154/97125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85154/97125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85154 ÷ 217
    85154 ÷ 131072     		x = 0.649673461914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97125 ÷ 217
    97125 ÷ 131072     		y = 0.741004943847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.649673461914062 × 2 - 1) × π
    0.299346923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.94042610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741004943847656 × 2 - 1) × π
    -0.482009887695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.51427872209795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94042610} λ = 0.94042610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51427872209795))-π/2
    2×atan(0.219966784824635)-π/2
    2×0.216518622977935-π/2
    0.433037245955869-1.57079632675     		φ = -1.13775908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94042610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.882446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13775908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.188793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85154 KachelY 97125 0.94042610 -1.13775908 53.882446 -65.188793
    Oben rechts KachelX + 1 85155 KachelY 97125 0.94047403 -1.13775908 53.885193 -65.188793
    Unten links KachelX 85154 KachelY + 1 97126 0.94042610 -1.13777920 53.882446 -65.189946
    Unten rechts KachelX + 1 85155 KachelY + 1 97126 0.94047403 -1.13777920 53.885193 -65.189946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13775908--1.13777920) × R
    2.01200000000679e-05 × 6371000     		dl = 128.184520000432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13775908--1.13777920) × R
    2.01200000000679e-05 × 6371000     		dr = 128.184520000432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94042610-0.94047403) × cos(-1.13775908) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.419629628706882 × 6371000     		do = 128.138955269861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94042610-0.94047403) × cos(-1.13777920) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.419611365790105 × 6371000     		du = 128.133378468521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13775908)-sin(-1.13777920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419629628706882-0.419611365790105)×R²
    abs(0.94047403-0.94042610)×1.82629167766457e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.82629167766457e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.82629167766457e-05×40589641000000     		ar = 16425.0730453235m²