Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85138 / 97138
↖ ↑ ↗
← S 65.203772°
E 53.838501°		 ← 128.07 m → S 65.203772°
E 53.841247°		 →
↑
128.12 m
↓
↑
128.12 m
↓
S 65.204924°
E 53.838501°		 ← 128.06 m →
16 408 m²		 S 65.204924°
E 53.841247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649555206298828 y=0.741107940673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649555206298828 × 217)
    floor (0.649555206298828 × 131072)
    floor (85138.5)     		tx = 85138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741107940673828 × 217)
    floor (0.741107940673828 × 131072)
    floor (97138.5)     		ty = 97138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85138 / 97138 ti = "17/85138/97138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85138/97138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85138 ÷ 217
    85138 ÷ 131072     		x = 0.649551391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97138 ÷ 217
    97138 ÷ 131072     		y = 0.741104125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.649551391601562 × 2 - 1) × π
    0.299102783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.93965911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741104125976562 × 2 - 1) × π
    -0.482208251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51490190179301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93965911} λ = 0.93965911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51490190179301))-π/2
    2×atan(0.219829748694246)-π/2
    2×0.21638790762117-π/2
    0.432775815242341-1.57079632675     		φ = -1.13802051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93965911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.838501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13802051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.203772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85138 KachelY 97138 0.93965911 -1.13802051 53.838501 -65.203772
    Oben rechts KachelX + 1 85139 KachelY 97138 0.93970704 -1.13802051 53.841247 -65.203772
    Unten links KachelX 85138 KachelY + 1 97139 0.93965911 -1.13804062 53.838501 -65.204924
    Unten rechts KachelX + 1 85139 KachelY + 1 97139 0.93970704 -1.13804062 53.841247 -65.204924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13802051--1.13804062) × R
    2.01099999999066e-05 × 6371000     		dl = 128.120809999405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13802051--1.13804062) × R
    2.01099999999066e-05 × 6371000     		dr = 128.120809999405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93965911-0.93970704) × cos(-1.13802051) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.419392315556118 × 6371000     		do = 128.066488844695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93965911-0.93970704) × cos(-1.13804062) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.419374059510909 × 6371000     		du = 128.06091414167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13802051)-sin(-1.13804062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419392315556118-0.419374059510909)×R²
    abs(0.93970704-0.93965911)×1.82560452089975e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82560452089975e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82560452089975e-05×40589641000000     		ar = 16407.6251673762m²