Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 85126 / 97174
↖ ↑ ↗
← S 65.245208°
E 53.805542°		 ← 127.89 m → S 65.245208°
E 53.808289°		 →
↑
127.87 m
↓
↑
127.87 m
↓
S 65.246358°
E 53.805542°		 ← 127.89 m →
16 353 m²		 S 65.246358°
E 53.808289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649463653564453 y=0.741382598876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649463653564453 × 217)
    floor (0.649463653564453 × 131072)
    floor (85126.5)     		tx = 85126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741382598876953 × 217)
    floor (0.741382598876953 × 131072)
    floor (97174.5)     		ty = 97174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85126 / 97174 ti = "17/85126/97174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85126/97174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85126 ÷ 217
    85126 ÷ 131072     		x = 0.649459838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97174 ÷ 217
    97174 ÷ 131072     		y = 0.741378784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.649459838867188 × 2 - 1) × π
    0.298919677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.93908386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741378784179688 × 2 - 1) × π
    -0.482757568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51662763017934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93908386} λ = 0.93908386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51662763017934))-π/2
    2×atan(0.219450709410262)-π/2
    2×0.216026312358011-π/2
    0.432052624716023-1.57079632675     		φ = -1.13874370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93908386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.805542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13874370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.245208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85126 KachelY 97174 0.93908386 -1.13874370 53.805542 -65.245208
    Oben rechts KachelX + 1 85127 KachelY 97174 0.93913180 -1.13874370 53.808289 -65.245208
    Unten links KachelX 85126 KachelY + 1 97175 0.93908386 -1.13876377 53.805542 -65.246358
    Unten rechts KachelX + 1 85127 KachelY + 1 97175 0.93913180 -1.13876377 53.808289 -65.246358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13874370--1.13876377) × R
    2.00699999999276e-05 × 6371000     		dl = 127.865969999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13874370--1.13876377) × R
    2.00699999999276e-05 × 6371000     		dr = 127.865969999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93908386-0.93913180) × cos(-1.13874370) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418735690376748 × 6371000     		do = 127.892658097645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93908386-0.93913180) × cos(-1.13876377) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418717464561739 × 6371000     		du = 127.887091464609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13874370)-sin(-1.13876377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418735690376748-0.418717464561739)×R²
    abs(0.93913180-0.93908386)×1.822581500871e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.822581500871e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.822581500871e-05×40589641000000     		ar = 16352.76289259m²