Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85125 / 97179
↖ ↑ ↗
← S 65.250958°
E 53.802796°		 ← 127.84 m → S 65.250958°
E 53.805542°		 →
↑
127.80 m
↓
↑
127.80 m
↓
S 65.252108°
E 53.802796°		 ← 127.83 m →
16 338 m²		 S 65.252108°
E 53.805542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649456024169922 y=0.741420745849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649456024169922 × 217)
    floor (0.649456024169922 × 131072)
    floor (85125.5)     		tx = 85125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741420745849609 × 217)
    floor (0.741420745849609 × 131072)
    floor (97179.5)     		ty = 97179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85125 / 97179 ti = "17/85125/97179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85125/97179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85125 ÷ 217
    85125 ÷ 131072     		x = 0.649452209472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97179 ÷ 217
    97179 ÷ 131072     		y = 0.741416931152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.649452209472656 × 2 - 1) × π
    0.298904418945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.93903593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741416931152344 × 2 - 1) × π
    -0.482833862304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.51686731467744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93903593} λ = 0.93903593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51686731467744))-π/2
    2×atan(0.21939811678019)-π/2
    2×0.215976135592351-π/2
    0.431952271184702-1.57079632675     		φ = -1.13884406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93903593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.802796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13884406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.250958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85125 KachelY 97179 0.93903593 -1.13884406 53.802796 -65.250958
    Oben rechts KachelX + 1 85126 KachelY 97179 0.93908386 -1.13884406 53.805542 -65.250958
    Unten links KachelX 85125 KachelY + 1 97180 0.93903593 -1.13886412 53.802796 -65.252108
    Unten rechts KachelX + 1 85126 KachelY + 1 97180 0.93908386 -1.13886412 53.805542 -65.252108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13884406--1.13886412) × R
    2.00599999999884e-05 × 6371000     		dl = 127.802259999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13884406--1.13886412) × R
    2.00599999999884e-05 × 6371000     		dr = 127.802259999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93903593-0.93908386) × cos(-1.13884406) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.418644550533661 × 6371000     		do = 127.838149799475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93903593-0.93908386) × cos(-1.13886412) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.418626332956921 × 6371000     		du = 127.832586843259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13884406)-sin(-1.13886412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418644550533661-0.418626332956921)×R²
    abs(0.93908386-0.93903593)×1.82175767408088e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82175767408088e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82175767408088e-05×40589641000000     		ar = 16337.6489799948m²