Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85123 / 97172
↖ ↑ ↗
← S 65.242908°
E 53.797302°		 ← 127.90 m → S 65.242908°
E 53.800049°		 →
↑
127.93 m
↓
↑
127.93 m
↓
S 65.244058°
E 53.797302°		 ← 127.90 m →
16 362 m²		 S 65.244058°
E 53.800049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649440765380859 y=0.741367340087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649440765380859 × 217)
    floor (0.649440765380859 × 131072)
    floor (85123.5)     		tx = 85123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741367340087891 × 217)
    floor (0.741367340087891 × 131072)
    floor (97172.5)     		ty = 97172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85123 / 97172 ti = "17/85123/97172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85123/97172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85123 ÷ 217
    85123 ÷ 131072     		x = 0.649436950683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97172 ÷ 217
    97172 ÷ 131072     		y = 0.741363525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.649436950683594 × 2 - 1) × π
    0.298873901367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.93894005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741363525390625 × 2 - 1) × π
    -0.48272705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5165317563801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93894005} λ = 0.93894005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5165317563801))-π/2
    2×atan(0.219471749992123)-π/2
    2×0.216046386122509-π/2
    0.432092772245017-1.57079632675     		φ = -1.13870355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93894005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.797302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13870355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.242908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85123 KachelY 97172 0.93894005 -1.13870355 53.797302 -65.242908
    Oben rechts KachelX + 1 85124 KachelY 97172 0.93898799 -1.13870355 53.800049 -65.242908
    Unten links KachelX 85123 KachelY + 1 97173 0.93894005 -1.13872363 53.797302 -65.244058
    Unten rechts KachelX + 1 85124 KachelY + 1 97173 0.93898799 -1.13872363 53.800049 -65.244058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13870355--1.13872363) × R
    2.00800000000889e-05 × 6371000     		dl = 127.929680000566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13870355--1.13872363) × R
    2.00800000000889e-05 × 6371000     		dr = 127.929680000566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93894005-0.93898799) × cos(-1.13870355) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418772150581665 × 6371000     		do = 127.903793982713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93894005-0.93898799) × cos(-1.13872363) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418753916023088 × 6371000     		du = 127.898224679166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13870355)-sin(-1.13872363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418772150581665-0.418753916023088)×R²
    abs(0.93898799-0.93894005)×1.82345585773569e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82345585773569e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82345585773569e-05×40589641000000     		ar = 16362.3351960316m²