Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85121 / 97183
↖ ↑ ↗
← S 65.255557°
E 53.791809°		 ← 127.84 m → S 65.255557°
E 53.794556°		 →
↑
127.87 m
↓
↑
127.87 m
↓
S 65.256707°
E 53.791809°		 ← 127.84 m →
16 346 m²		 S 65.256707°
E 53.794556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649425506591797 y=0.741451263427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649425506591797 × 217)
    floor (0.649425506591797 × 131072)
    floor (85121.5)     		tx = 85121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741451263427734 × 217)
    floor (0.741451263427734 × 131072)
    floor (97183.5)     		ty = 97183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85121 / 97183 ti = "17/85121/97183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85121/97183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85121 ÷ 217
    85121 ÷ 131072     		x = 0.649421691894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97183 ÷ 217
    97183 ÷ 131072     		y = 0.741447448730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.649421691894531 × 2 - 1) × π
    0.298843383789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.93884418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741447448730469 × 2 - 1) × π
    -0.482894897460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.51705906227592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93884418} λ = 0.93884418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51705906227592))-π/2
    2×atan(0.219356051751249)-π/2
    2×0.215936002042863-π/2
    0.431872004085726-1.57079632675     		φ = -1.13892432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93884418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.791809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13892432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.255557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85121 KachelY 97183 0.93884418 -1.13892432 53.791809 -65.255557
    Oben rechts KachelX + 1 85122 KachelY 97183 0.93889212 -1.13892432 53.794556 -65.255557
    Unten links KachelX 85121 KachelY + 1 97184 0.93884418 -1.13894439 53.791809 -65.256707
    Unten rechts KachelX + 1 85122 KachelY + 1 97184 0.93889212 -1.13894439 53.794556 -65.256707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13892432--1.13894439) × R
    2.00699999999276e-05 × 6371000     		dl = 127.865969999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13892432--1.13894439) × R
    2.00699999999276e-05 × 6371000     		dr = 127.865969999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93884418-0.93889212) × cos(-1.13892432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418571661052311 × 6371000     		do = 127.842559319848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93884418-0.93889212) × cos(-1.13894439) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418553433719698 × 6371000     		du = 127.836992223296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13892432)-sin(-1.13894439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418571661052311-0.418553433719698)×R²
    abs(0.93889212-0.93884418)×1.82273326134186e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82273326134186e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82273326134186e-05×40589641000000     		ar = 16346.3569340259m²