Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85121 / 97153
↖ ↑ ↗
← S 65.221045°
E 53.791809°		 ← 128.01 m → S 65.221045°
E 53.794556°		 →
↑
127.99 m
↓
↑
127.99 m
↓
S 65.222196°
E 53.791809°		 ← 128 m →
16 384 m²		 S 65.222196°
E 53.794556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649425506591797 y=0.741222381591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649425506591797 × 217)
    floor (0.649425506591797 × 131072)
    floor (85121.5)     		tx = 85121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741222381591797 × 217)
    floor (0.741222381591797 × 131072)
    floor (97153.5)     		ty = 97153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85121 / 97153 ti = "17/85121/97153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85121/97153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85121 ÷ 217
    85121 ÷ 131072     		x = 0.649421691894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97153 ÷ 217
    97153 ÷ 131072     		y = 0.741218566894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.649421691894531 × 2 - 1) × π
    0.298843383789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.93884418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741218566894531 × 2 - 1) × π
    -0.482437133789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.51562095528732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93884418} λ = 0.93884418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51562095528732))-π/2
    2×atan(0.219671736161836)-π/2
    2×0.21623717407077-π/2
    0.43247434814154-1.57079632675     		φ = -1.13832198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93884418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.791809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13832198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.221045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85121 KachelY 97153 0.93884418 -1.13832198 53.791809 -65.221045
    Oben rechts KachelX + 1 85122 KachelY 97153 0.93889212 -1.13832198 53.794556 -65.221045
    Unten links KachelX 85121 KachelY + 1 97154 0.93884418 -1.13834207 53.791809 -65.222196
    Unten rechts KachelX + 1 85122 KachelY + 1 97154 0.93889212 -1.13834207 53.794556 -65.222196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13832198--1.13834207) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dl = 127.993390000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13832198--1.13834207) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dr = 127.993390000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93884418-0.93889212) × cos(-1.13832198) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419118620501021 × 6371000     		do = 128.009614814219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93884418-0.93889212) × cos(-1.13834207) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419100380072903 × 6371000     		du = 128.004043717964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13832198)-sin(-1.13834207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419118620501021-0.419100380072903)×R²
    abs(0.93889212-0.93884418)×1.82404281177662e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82404281177662e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82404281177662e-05×40589641000000     		ar = 16384.0280215946m²