Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85119 / 97145
↖ ↑ ↗
← S 65.211834°
E 53.786316°		 ← 128.03 m → S 65.211834°
E 53.789062°		 →
↑
128.06 m
↓
↑
128.06 m
↓
S 65.212986°
E 53.786316°		 ← 128.02 m →
16 394 m²		 S 65.212986°
E 53.789062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649410247802734 y=0.741161346435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649410247802734 × 217)
    floor (0.649410247802734 × 131072)
    floor (85119.5)     		tx = 85119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741161346435547 × 217)
    floor (0.741161346435547 × 131072)
    floor (97145.5)     		ty = 97145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85119 / 97145 ti = "17/85119/97145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85119/97145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85119 ÷ 217
    85119 ÷ 131072     		x = 0.649406433105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97145 ÷ 217
    97145 ÷ 131072     		y = 0.741157531738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.649406433105469 × 2 - 1) × π
    0.298812866210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.93874831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741157531738281 × 2 - 1) × π
    -0.482315063476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.51523746009035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93874831} λ = 0.93874831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51523746009035))-π/2
    2×atan(0.219755995373031)-π/2
    2×0.216317553052279-π/2
    0.432635106104557-1.57079632675     		φ = -1.13816122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93874831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.786316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13816122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.211834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85119 KachelY 97145 0.93874831 -1.13816122 53.786316 -65.211834
    Oben rechts KachelX + 1 85120 KachelY 97145 0.93879624 -1.13816122 53.789062 -65.211834
    Unten links KachelX 85119 KachelY + 1 97146 0.93874831 -1.13818132 53.786316 -65.212986
    Unten rechts KachelX + 1 85120 KachelY + 1 97146 0.93879624 -1.13818132 53.789062 -65.212986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13816122--1.13818132) × R
    2.00999999999674e-05 × 6371000     		dl = 128.057099999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13816122--1.13818132) × R
    2.00999999999674e-05 × 6371000     		dr = 128.057099999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93874831-0.93879624) × cos(-1.13816122) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.41926457415016 × 6371000     		do = 128.02748146936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93874831-0.93879624) × cos(-1.13818132) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.419246325997138 × 6371000     		du = 128.02190917631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13816122)-sin(-1.13818132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41926457415016-0.419246325997138)×R²
    abs(0.93879624-0.93874831)×1.82481530224821e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.82481530224821e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.82481530224821e-05×40589641000000     		ar = 16394.4712119152m²