Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85114 / 97178
↖ ↑ ↗
← S 65.249808°
E 53.772583°		 ← 127.87 m → S 65.249808°
E 53.775330°		 →
↑
127.87 m
↓
↑
127.87 m
↓
S 65.250958°
E 53.772583°		 ← 127.86 m →
16 350 m²		 S 65.250958°
E 53.775330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649372100830078 y=0.741413116455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649372100830078 × 217)
    floor (0.649372100830078 × 131072)
    floor (85114.5)     		tx = 85114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741413116455078 × 217)
    floor (0.741413116455078 × 131072)
    floor (97178.5)     		ty = 97178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85114 / 97178 ti = "17/85114/97178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85114/97178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85114 ÷ 217
    85114 ÷ 131072     		x = 0.649368286132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97178 ÷ 217
    97178 ÷ 131072     		y = 0.741409301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.649368286132812 × 2 - 1) × π
    0.298736572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.93850862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741409301757812 × 2 - 1) × π
    -0.482818603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51681937777782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93850862} λ = 0.93850862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51681937777782))-π/2
    2×atan(0.219408634297777)-π/2
    2×0.215986170071762-π/2
    0.431972340143524-1.57079632675     		φ = -1.13882399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93850862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.772583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13882399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.249808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85114 KachelY 97178 0.93850862 -1.13882399 53.772583 -65.249808
    Oben rechts KachelX + 1 85115 KachelY 97178 0.93855656 -1.13882399 53.775330 -65.249808
    Unten links KachelX 85114 KachelY + 1 97179 0.93850862 -1.13884406 53.772583 -65.250958
    Unten rechts KachelX + 1 85115 KachelY + 1 97179 0.93855656 -1.13884406 53.775330 -65.250958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13882399--1.13884406) × R
    2.00700000001497e-05 × 6371000     		dl = 127.865970000954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13882399--1.13884406) × R
    2.00700000001497e-05 × 6371000     		dr = 127.865970000954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93850862-0.93855656) × cos(-1.13882399) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418662777023356 × 6371000     		do = 127.87038848273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93850862-0.93855656) × cos(-1.13884406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418644550533661 × 6371000     		du = 127.864821643627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13882399)-sin(-1.13884406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418662777023356-0.418644550533661)×R²
    abs(0.93855656-0.93850862)×1.82264896946283e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82264896946283e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82264896946283e-05×40589641000000     		ar = 16349.9153535432m²