Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85113 / 97159
↖ ↑ ↗
← S 65.227951°
E 53.769836°		 ← 127.98 m → S 65.227951°
E 53.772583°		 →
↑
127.99 m
↓
↑
127.99 m
↓
S 65.229102°
E 53.769836°		 ← 127.97 m →
16 380 m²		 S 65.229102°
E 53.772583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649364471435547 y=0.741268157958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649364471435547 × 217)
    floor (0.649364471435547 × 131072)
    floor (85113.5)     		tx = 85113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741268157958984 × 217)
    floor (0.741268157958984 × 131072)
    floor (97159.5)     		ty = 97159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85113 / 97159 ti = "17/85113/97159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85113/97159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85113 ÷ 217
    85113 ÷ 131072     		x = 0.649360656738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97159 ÷ 217
    97159 ÷ 131072     		y = 0.741264343261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.649360656738281 × 2 - 1) × π
    0.298721313476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.93846068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741264343261719 × 2 - 1) × π
    -0.482528686523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.51590857668504
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93846068} λ = 0.93846068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51590857668504))-π/2
    2×atan(0.21960856295546)-π/2
    2×0.216176908198294-π/2
    0.432353816396588-1.57079632675     		φ = -1.13844251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93846068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.769836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13844251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.227951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85113 KachelY 97159 0.93846068 -1.13844251 53.769836 -65.227951
    Oben rechts KachelX + 1 85114 KachelY 97159 0.93850862 -1.13844251 53.772583 -65.227951
    Unten links KachelX 85113 KachelY + 1 97160 0.93846068 -1.13846260 53.769836 -65.229102
    Unten rechts KachelX + 1 85114 KachelY + 1 97160 0.93850862 -1.13846260 53.772583 -65.229102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13844251--1.13846260) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dl = 127.993390000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13844251--1.13846260) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dr = 127.993390000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93846068-0.93850862) × cos(-1.13844251) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419009184474997 × 6371000     		do = 127.976190234988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93846068-0.93850862) × cos(-1.13846260) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41899094303216 × 6371000     		du = 127.970618828811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13844251)-sin(-1.13846260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419009184474997-0.41899094303216)×R²
    abs(0.93850862-0.93846068)×1.82414428369637e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82414428369637e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82414428369637e-05×40589641000000     		ar = 16379.749876499m²