Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85112 / 97112
↖ ↑ ↗
← S 65.173806°
E 53.767090°		 ← 128.21 m → S 65.173806°
E 53.769836°		 →
↑
128.25 m
↓
↑
128.25 m
↓
S 65.174959°
E 53.767090°		 ← 128.21 m →
16 443 m²		 S 65.174959°
E 53.769836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649356842041016 y=0.740909576416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649356842041016 × 217)
    floor (0.649356842041016 × 131072)
    floor (85112.5)     		tx = 85112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740909576416016 × 217)
    floor (0.740909576416016 × 131072)
    floor (97112.5)     		ty = 97112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85112 / 97112 ti = "17/85112/97112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85112/97112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85112 ÷ 217
    85112 ÷ 131072     		x = 0.64935302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97112 ÷ 217
    97112 ÷ 131072     		y = 0.74090576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64935302734375 × 2 - 1) × π
    0.2987060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93841275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74090576171875 × 2 - 1) × π
    -0.4818115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51365554240289
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93841275} λ = 0.93841275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51365554240289))-π/2
    2×atan(0.220103906379772)-π/2
    2×0.216649412295717-π/2
    0.433298824591434-1.57079632675     		φ = -1.13749750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93841275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.767090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13749750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.173806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85112 KachelY 97112 0.93841275 -1.13749750 53.767090 -65.173806
    Oben rechts KachelX + 1 85113 KachelY 97112 0.93846068 -1.13749750 53.769836 -65.173806
    Unten links KachelX 85112 KachelY + 1 97113 0.93841275 -1.13751763 53.767090 -65.174959
    Unten rechts KachelX + 1 85113 KachelY + 1 97113 0.93846068 -1.13751763 53.769836 -65.174959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13749750--1.13751763) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dl = 128.248230000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13749750--1.13751763) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dr = 128.248230000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93841275-0.93846068) × cos(-1.13749750) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.419867049315637 × 6371000     		do = 128.211454509211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93841275-0.93846068) × cos(-1.13751763) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.419848779532003 × 6371000     		du = 128.205875610993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13749750)-sin(-1.13751763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419867049315637-0.419848779532003)×R²
    abs(0.93846068-0.93841275)×1.82697836342283e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82697836342283e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82697836342283e-05×40589641000000     		ar = 16442.5343652445m²