Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85111 / 97161
↖ ↑ ↗
← S 65.230253°
E 53.764343°		 ← 127.97 m → S 65.230253°
E 53.767090°		 →
↑
127.93 m
↓
↑
127.93 m
↓
S 65.231403°
E 53.764343°		 ← 127.96 m →
16 370 m²		 S 65.231403°
E 53.767090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649349212646484 y=0.741283416748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649349212646484 × 217)
    floor (0.649349212646484 × 131072)
    floor (85111.5)     		tx = 85111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741283416748047 × 217)
    floor (0.741283416748047 × 131072)
    floor (97161.5)     		ty = 97161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85111 / 97161 ti = "17/85111/97161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85111/97161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85111 ÷ 217
    85111 ÷ 131072     		x = 0.649345397949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97161 ÷ 217
    97161 ÷ 131072     		y = 0.741279602050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.649345397949219 × 2 - 1) × π
    0.298690795898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.93836481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741279602050781 × 2 - 1) × π
    -0.482559204101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.51600445048428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93836481} λ = 0.93836481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51600445048428))-π/2
    2×atan(0.219587509257449)-π/2
    2×0.216156823071335-π/2
    0.432313646142671-1.57079632675     		φ = -1.13848268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93836481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.764343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13848268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.230253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85111 KachelY 97161 0.93836481 -1.13848268 53.764343 -65.230253
    Oben rechts KachelX + 1 85112 KachelY 97161 0.93841275 -1.13848268 53.767090 -65.230253
    Unten links KachelX 85111 KachelY + 1 97162 0.93836481 -1.13850276 53.764343 -65.231403
    Unten rechts KachelX + 1 85112 KachelY + 1 97162 0.93841275 -1.13850276 53.767090 -65.231403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13848268--1.13850276) × R
    2.00799999998669e-05 × 6371000     		dl = 127.929679999152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13848268--1.13850276) × R
    2.00799999998669e-05 × 6371000     		dr = 127.929679999152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93836481-0.93841275) × cos(-1.13848268) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418972710500203 × 6371000     		do = 127.965050144246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93836481-0.93841275) × cos(-1.13850276) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.418954477799314 × 6371000     		du = 127.959481408085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13848268)-sin(-1.13850276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418972710500203-0.418954477799314)×R²
    abs(0.93841275-0.93836481)×1.82327008891869e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82327008891869e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82327008891869e-05×40589641000000     		ar = 16370.1717133328m²