Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85111 / 97114
↖ ↑ ↗
← S 65.176112°
E 53.764343°		 ← 128.23 m → S 65.176112°
E 53.767090°		 →
↑
128.25 m
↓
↑
128.25 m
↓
S 65.177265°
E 53.764343°		 ← 128.22 m →
16 445 m²		 S 65.177265°
E 53.767090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649349212646484 y=0.740924835205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649349212646484 × 217)
    floor (0.649349212646484 × 131072)
    floor (85111.5)     		tx = 85111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740924835205078 × 217)
    floor (0.740924835205078 × 131072)
    floor (97114.5)     		ty = 97114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85111 / 97114 ti = "17/85111/97114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85111/97114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85111 ÷ 217
    85111 ÷ 131072     		x = 0.649345397949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97114 ÷ 217
    97114 ÷ 131072     		y = 0.740921020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.649345397949219 × 2 - 1) × π
    0.298690795898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.93836481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740921020507812 × 2 - 1) × π
    -0.481842041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51375141620213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93836481} λ = 0.93836481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51375141620213))-π/2
    2×atan(0.220082805193581)-π/2
    2×0.216629286046864-π/2
    0.433258572093727-1.57079632675     		φ = -1.13753775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93836481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.764343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13753775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.176112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85111 KachelY 97114 0.93836481 -1.13753775 53.764343 -65.176112
    Oben rechts KachelX + 1 85112 KachelY 97114 0.93841275 -1.13753775 53.767090 -65.176112
    Unten links KachelX 85111 KachelY + 1 97115 0.93836481 -1.13755788 53.764343 -65.177265
    Unten rechts KachelX + 1 85112 KachelY + 1 97115 0.93841275 -1.13755788 53.767090 -65.177265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13753775--1.13755788) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dl = 128.248230000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13753775--1.13755788) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dr = 128.248230000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93836481-0.93841275) × cos(-1.13753775) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419830518654264 × 6371000     		do = 128.227046834478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93836481-0.93841275) × cos(-1.13755788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419812248530462 × 6371000     		du = 128.221466668396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13753775)-sin(-1.13755788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419830518654264-0.419812248530462)×R²
    abs(0.93841275-0.93836481)×1.82701238019556e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82701238019556e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82701238019556e-05×40589641000000     		ar = 16444.5339720221m²