Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8511 / 8597
↖ ↑ ↗
← S  8.863362°
E  7.009277°		 ← 2 414.04 m → S  8.863362°
E  7.031250°		 →
↑
2 413.97 m
↓
↑
2 413.97 m
↓
S  8.885071°
E  7.009277°		 ← 2 413.90 m →
5 827 251 m²		 S  8.885071°
E  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519500732421875 y=0.524749755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519500732421875 × 214)
    floor (0.519500732421875 × 16384)
    floor (8511.5)     		tx = 8511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524749755859375 × 214)
    floor (0.524749755859375 × 16384)
    floor (8597.5)     		ty = 8597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8511 / 8597 ti = "14/8511/8597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8511/8597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8511 ÷ 214
    8511 ÷ 16384     		x = 0.51947021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8597 ÷ 214
    8597 ÷ 16384     		y = 0.52471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51947021484375 × 2 - 1) × π
    0.0389404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12233497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.0494384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.155315554768982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12233497} λ = 0.12233497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.155315554768982))-π/2
    2×atan(0.856144974224336)-π/2
    2×0.708050738258773-π/2
    1.41610147651755-1.57079632675     		φ = -0.15469485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12233497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.009277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15469485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.863362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8511 KachelY 8597 0.12233497 -0.15469485 7.009277 -8.863362
    Oben rechts KachelX + 1 8512 KachelY 8597 0.12271846 -0.15469485 7.031250 -8.863362
    Unten links KachelX 8511 KachelY + 1 8598 0.12233497 -0.15507375 7.009277 -8.885071
    Unten rechts KachelX + 1 8512 KachelY + 1 8598 0.12271846 -0.15507375 7.031250 -8.885071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15469485--0.15507375) × R
    0.000378900000000015 × 6371000     		dl = 2413.9719000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15469485--0.15507375) × R
    0.000378900000000015 × 6371000     		dr = 2413.9719000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12233497-0.12271846) × cos(-0.15469485) × R
    0.00038349 × 0.988058593860709 × 6371000     		do = 2414.03936990709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12233497-0.12271846) × cos(-0.15507375) × R
    0.00038349 × 0.988000142554999 × 6371000     		du = 2413.89656081248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15469485)-sin(-0.15507375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988058593860709-0.988000142554999)×R²
    abs(0.12271846-0.12233497)×5.84513057095837e-05×R²
    0.00038349×5.84513057095837e-05×6371000²
    0.00038349×5.84513057095837e-05×40589641000000     		ar = 5827250.90559492m²