Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8511 / 3903
↖ ↑ ↗
← N 82.810199°
W133.247681°		 ← 76.45 m → N 82.810199°
W133.242187°		 →
↑
76.45 m
↓
↑
76.45 m
↓
N 82.809512°
W133.247681°		 ← 76.46 m →
5 845 m²		 N 82.809512°
W133.242187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129875183105469 y=0.0595626831054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129875183105469 × 216)
    floor (0.129875183105469 × 65536)
    floor (8511.5)     		tx = 8511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0595626831054688 × 216)
    floor (0.0595626831054688 × 65536)
    floor (3903.5)     		ty = 3903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8511 / 3903 ti = "16/8511/3903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8511/3903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8511 ÷ 216
    8511 ÷ 65536     		x = 0.129867553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3903 ÷ 216
    3903 ÷ 65536     		y = 0.0595550537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.129867553710938 × 2 - 1) × π
    -0.740264892578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32561075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0595550537109375 × 2 - 1) × π
    0.880889892578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.76739721506584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32561075} λ = -2.32561075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.76739721506584))-π/2
    2×atan(15.9171511265541)-π/2
    2×1.50805347628215-π/2
    3.0161069525643-1.57079632675     		φ = 1.44531063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32561075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.247681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44531063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.810199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8511 KachelY 3903 -2.32561075 1.44531063 -133.247681 82.810199
    Oben rechts KachelX + 1 8512 KachelY 3903 -2.32551487 1.44531063 -133.242187 82.810199
    Unten links KachelX 8511 KachelY + 1 3904 -2.32561075 1.44529863 -133.247681 82.809512
    Unten rechts KachelX + 1 8512 KachelY + 1 3904 -2.32551487 1.44529863 -133.242187 82.809512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44531063-1.44529863) × R
    1.2000000000123e-05 × 6371000     		dl = 76.4520000007838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44531063-1.44529863) × R
    1.2000000000123e-05 × 6371000     		dr = 76.4520000007838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32561075--2.32551487) × cos(1.44531063) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.125156625887687 × 6371000     		do = 76.45211015525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32561075--2.32551487) × cos(1.44529863) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.125168531522629 × 6371000     		du = 76.4593827299744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44531063)-sin(1.44529863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125156625887687-0.125168531522629)×R²
    abs(-2.32551487--2.32561075)×1.19056349415503e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.19056349415503e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.19056349415503e-05×40589641000000     		ar = 5845.19472719705m²