Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8511 / 2497
↖ ↑ ↗
← N 82.019853°
W 86.495361°		 ← 169.59 m → N 82.019853°
W 86.484375°		 →
↑
169.66 m
↓
↑
169.66 m
↓
N 82.018327°
W 86.495361°		 ← 169.62 m →
28 776 m²		 N 82.018327°
W 86.484375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.259750366210938 y=0.0762176513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.259750366210938 × 215)
    floor (0.259750366210938 × 32768)
    floor (8511.5)     		tx = 8511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0762176513671875 × 215)
    floor (0.0762176513671875 × 32768)
    floor (2497.5)     		ty = 2497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8511 / 2497 ti = "15/8511/2497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8511/2497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8511 ÷ 215
    8511 ÷ 32768     		x = 0.259735107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2497 ÷ 215
    2497 ÷ 32768     		y = 0.076202392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.259735107421875 × 2 - 1) × π
    -0.48052978515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.50962884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.076202392578125 × 2 - 1) × π
    0.84759521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.66279890009488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50962884} λ = -1.50962884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66279890009488))-π/2
    2×atan(14.3363590333058)-π/2
    2×1.50115640623123-π/2
    3.00231281246247-1.57079632675     		φ = 1.43151649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50962884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.495361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43151649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.019853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8511 KachelY 2497 -1.50962884 1.43151649 -86.495361 82.019853
    Oben rechts KachelX + 1 8512 KachelY 2497 -1.50943710 1.43151649 -86.484375 82.019853
    Unten links KachelX 8511 KachelY + 1 2498 -1.50962884 1.43148986 -86.495361 82.018327
    Unten rechts KachelX + 1 8512 KachelY + 1 2498 -1.50943710 1.43148986 -86.484375 82.018327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43151649-1.43148986) × R
    2.66300000000275e-05 × 6371000     		dl = 169.659730000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43151649-1.43148986) × R
    2.66300000000275e-05 × 6371000     		dr = 169.659730000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50962884--1.50943710) × cos(1.43151649) × R
    0.000191739999999996 × 0.138829961394328 × 6371000     		do = 169.591285058451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50962884--1.50943710) × cos(1.43148986) × R
    0.000191739999999996 × 0.13885633346639 × 6371000     		du = 169.623500536621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43151649)-sin(1.43148986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.138829961394328-0.13885633346639)×R²
    abs(-1.50943710--1.50962884)×2.6372072061992e-05×R²
    0.000191739999999996×2.6372072061992e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.6372072061992e-05×40589641000000     		ar = 28775.5444699052m²