Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85106 / 97119
↖ ↑ ↗
← S 65.181877°
E 53.750611°		 ← 128.17 m → S 65.181877°
E 53.753357°		 →
↑
128.18 m
↓
↑
128.18 m
↓
S 65.183030°
E 53.750611°		 ← 128.17 m →
16 429 m²		 S 65.183030°
E 53.753357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649311065673828 y=0.740962982177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649311065673828 × 217)
    floor (0.649311065673828 × 131072)
    floor (85106.5)     		tx = 85106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740962982177734 × 217)
    floor (0.740962982177734 × 131072)
    floor (97119.5)     		ty = 97119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85106 / 97119 ti = "17/85106/97119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85106/97119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85106 ÷ 217
    85106 ÷ 131072     		x = 0.649307250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97119 ÷ 217
    97119 ÷ 131072     		y = 0.740959167480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.649307250976562 × 2 - 1) × π
    0.298614501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.93812513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740959167480469 × 2 - 1) × π
    -0.481918334960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.51399110070023
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93812513} λ = 0.93812513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51399110070023))-π/2
    2×atan(0.220030061078104)-π/2
    2×0.216578978086036-π/2
    0.433157956172072-1.57079632675     		φ = -1.13763837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93812513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.750611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13763837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.181877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85106 KachelY 97119 0.93812513 -1.13763837 53.750611 -65.181877
    Oben rechts KachelX + 1 85107 KachelY 97119 0.93817306 -1.13763837 53.753357 -65.181877
    Unten links KachelX 85106 KachelY + 1 97120 0.93812513 -1.13765849 53.750611 -65.183030
    Unten rechts KachelX + 1 85107 KachelY + 1 97120 0.93817306 -1.13765849 53.753357 -65.183030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13763837--1.13765849) × R
    2.01200000000679e-05 × 6371000     		dl = 128.184520000432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13763837--1.13765849) × R
    2.01200000000679e-05 × 6371000     		dr = 128.184520000432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93812513-0.93817306) × cos(-1.13763837) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.419739193563521 × 6371000     		do = 128.172412217198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93812513-0.93817306) × cos(-1.13765849) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.419720931666003 × 6371000     		du = 128.166835727101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13763837)-sin(-1.13765849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419739193563521-0.419720931666003)×R²
    abs(0.93817306-0.93812513)×1.82618975175242e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82618975175242e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82618975175242e-05×40589641000000     		ar = 16429.3617282318m²