Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 85101 / 97115
↖ ↑ ↗
← S 65.177265°
E 53.736877°		 ← 128.22 m → S 65.177265°
E 53.739624°		 →
↑
128.18 m
↓
↑
128.18 m
↓
S 65.178418°
E 53.736877°		 ← 128.22 m →
16 436 m²		 S 65.178418°
E 53.739624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649272918701172 y=0.740932464599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649272918701172 × 217)
    floor (0.649272918701172 × 131072)
    floor (85101.5)     		tx = 85101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740932464599609 × 217)
    floor (0.740932464599609 × 131072)
    floor (97115.5)     		ty = 97115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85101 / 97115 ti = "17/85101/97115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85101/97115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85101 ÷ 217
    85101 ÷ 131072     		x = 0.649269104003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97115 ÷ 217
    97115 ÷ 131072     		y = 0.740928649902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.649269104003906 × 2 - 1) × π
    0.298538208007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.93788544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740928649902344 × 2 - 1) × π
    -0.481857299804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.51379935310175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93788544} λ = 0.93788544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51379935310175))-π/2
    2×atan(0.220072255359106)-π/2
    2×0.21661922357915-π/2
    0.4332384471583-1.57079632675     		φ = -1.13755788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93788544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.736877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13755788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.177265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85101 KachelY 97115 0.93788544 -1.13755788 53.736877 -65.177265
    Oben rechts KachelX + 1 85102 KachelY 97115 0.93793338 -1.13755788 53.739624 -65.177265
    Unten links KachelX 85101 KachelY + 1 97116 0.93788544 -1.13757800 53.736877 -65.178418
    Unten rechts KachelX + 1 85102 KachelY + 1 97116 0.93793338 -1.13757800 53.739624 -65.178418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13755788--1.13757800) × R
    2.01200000000679e-05 × 6371000     		dl = 128.184520000432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13755788--1.13757800) × R
    2.01200000000679e-05 × 6371000     		dr = 128.184520000432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93788544-0.93793338) × cos(-1.13755788) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.419812248530462 × 6371000     		do = 128.221466668693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93788544-0.93793338) × cos(-1.13757800) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.419793987312739 × 6371000     		du = 128.215889222757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13755788)-sin(-1.13757800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419812248530462-0.419793987312739)×R²
    abs(0.93793338-0.93788544)×1.82612177228036e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.82612177228036e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.82612177228036e-05×40589641000000     		ar = 16435.6496880834m²