Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8510 / 8569
↖ ↑ ↗
← S  8.254983°
E  6.987305°		 ← 2 417.96 m → S  8.254983°
E  7.009277°		 →
↑
2 417.86 m
↓
↑
2 417.86 m
↓
S  8.276727°
E  6.987305°		 ← 2 417.83 m →
5 846 132 m²		 S  8.276727°
E  7.009277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519439697265625 y=0.523040771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519439697265625 × 214)
    floor (0.519439697265625 × 16384)
    floor (8510.5)     		tx = 8510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523040771484375 × 214)
    floor (0.523040771484375 × 16384)
    floor (8569.5)     		ty = 8569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8510 / 8569 ti = "14/8510/8569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8510/8569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8510 ÷ 214
    8510 ÷ 16384     		x = 0.5194091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8569 ÷ 214
    8569 ÷ 16384     		y = 0.52301025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5194091796875 × 2 - 1) × π
    0.038818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12195147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52301025390625 × 2 - 1) × π
    -0.0460205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.144577689254089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12195147} λ = 0.12195147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.144577689254089))-π/2
    2×atan(0.865387678468225)-π/2
    2×0.71335984945184-π/2
    1.42671969890368-1.57079632675     		φ = -0.14407663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12195147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.987305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14407663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.254983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8510 KachelY 8569 0.12195147 -0.14407663 6.987305 -8.254983
    Oben rechts KachelX + 1 8511 KachelY 8569 0.12233497 -0.14407663 7.009277 -8.254983
    Unten links KachelX 8510 KachelY + 1 8570 0.12195147 -0.14445614 6.987305 -8.276727
    Unten rechts KachelX + 1 8511 KachelY + 1 8570 0.12233497 -0.14445614 7.009277 -8.276727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14407663--0.14445614) × R
    0.00037951 × 6371000     		dl = 2417.85821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14407663--0.14445614) × R
    0.00037951 × 6371000     		dr = 2417.85821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12195147-0.12233497) × cos(-0.14407663) × R
    0.000383499999999995 × 0.989638903995905 × 6371000     		do = 2417.96345689673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12195147-0.12233497) × cos(-0.14445614) × R
    0.000383499999999995 × 0.989584343181488 × 6371000     		du = 2417.83014963192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14407663)-sin(-0.14445614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989638903995905-0.989584343181488)×R²
    abs(0.12233497-0.12195147)×5.45608144169041e-05×R²
    0.000383499999999995×5.45608144169041e-05×6371000²
    0.000383499999999995×5.45608144169041e-05×40589641000000     		ar = 5846131.70687269m²