Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85092 / 97109
↖ ↑ ↗
← S 65.170346°
E 53.712158°		 ← 128.25 m → S 65.170346°
E 53.714905°		 →
↑
128.25 m
↓
↑
128.25 m
↓
S 65.171500°
E 53.712158°		 ← 128.25 m →
16 448 m²		 S 65.171500°
E 53.714905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649204254150391 y=0.740886688232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649204254150391 × 217)
    floor (0.649204254150391 × 131072)
    floor (85092.5)     		tx = 85092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740886688232422 × 217)
    floor (0.740886688232422 × 131072)
    floor (97109.5)     		ty = 97109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85092 / 97109 ti = "17/85092/97109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85092/97109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85092 ÷ 217
    85092 ÷ 131072     		x = 0.649200439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97109 ÷ 217
    97109 ÷ 131072     		y = 0.740882873535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.649200439453125 × 2 - 1) × π
    0.29840087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.93745401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740882873535156 × 2 - 1) × π
    -0.481765747070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.51351173170403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93745401} λ = 0.93745401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51351173170403))-π/2
    2×atan(0.220135561952521)-π/2
    2×0.216679604952788-π/2
    0.433359209905576-1.57079632675     		φ = -1.13743712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93745401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.712158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13743712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.170346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85092 KachelY 97109 0.93745401 -1.13743712 53.712158 -65.170346
    Oben rechts KachelX + 1 85093 KachelY 97109 0.93750195 -1.13743712 53.714905 -65.170346
    Unten links KachelX 85092 KachelY + 1 97110 0.93745401 -1.13745725 53.712158 -65.171500
    Unten rechts KachelX + 1 85093 KachelY + 1 97110 0.93750195 -1.13745725 53.714905 -65.171500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13743712--1.13745725) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dl = 128.248230000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13743712--1.13745725) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dr = 128.248230000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93745401-0.93750195) × cos(-1.13743712) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.419921848570084 × 6371000     		do = 128.254941341899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93745401-0.93750195) × cos(-1.13745725) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.419903579296799 × 6371000     		du = 128.249361435586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13743712)-sin(-1.13745725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419921848570084-0.419903579296799)×R²
    abs(0.93750195-0.93745401)×1.82692732849099e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.82692732849099e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.82692732849099e-05×40589641000000     		ar = 16448.1114099743m²